Encontrar la distribución de una estadística

Estudiar para un examen. No pude responder a esta.

Deje be iid variables aleatorias. Definir $X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$ $\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

y , $\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

¿Cuál es la distribución de $\overline{W}_n$ , $S_n^2$ ?

¿Cómo puedo tener una idea del mejor método para usar al iniciar un problema como este?

normal-distribution data-transformation

— Taylor
fuente

¿Desea la distribución para fijo

n

$n$ o la distribución asintótica? ¿Está interesado en las distribuciones marginales de

{\bar{W}}_{n}

$\overline W_n$ y

S_{n}^{2}

$S_n^2$ o su distribución conjunta?

— Cardenal

Perdón por la ambigüedad. Mantenga fijo, y yo sólo estoy interesado en sus marginales. Luego preguntan si las dos estadísticas son independientes, por lo que estoy anticipando algún uso del teorema de Basu.

n

$n$

— Taylor

Es un truco.

Condicionalmente en tenemos que es igual a Esto se deduce del hecho de que para fijo, esta es una transformación lineal simple de las dos variables independientes distribuidas y . Por lo tanto, tiene una distribución normal. Se ve que la media condicional es 0 y la varianza condicional es (por los supuestos de independencia) $X_{3,i} = x$ $W_i$

\frac{X_{1, i} + X_{2, i} x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \sim N (0, 1) .

$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$

x

$x$

N (0, 1)

$\mathcal{N}(0,1)$

X_{1, i}

$X_{1,i}$

X_{2, i}

$X_{2,i}$

W_{i} ∣ X_{3, i} = x

$W_i \mid X_{3,i} = x$

V (W_{i} ∣ X_{3, i} = x) = \frac{V (X_{1, i}) + V (X_{2, i}) x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} = 1.

$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$

Dado que la distribución condicional de no depende de , concluimos que también es su distribución marginal, es decir, $W_i \mid X_{3,i} = x$ $x$ $W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

El resto se deriva de resultados estándar sobre promedios y residuos para variables aleatorias normales independientes. El teorema de Basu no es necesario para nada.

— NRH
fuente

¡muy impresionante!

— Cam.Davidson.Pilon

Bien visto (+1). Sin embargo, para la distribución conjunta de , el teorema de Basu es de suma relevancia.

({\bar{W}}_{n}, S_{n}^{2})

$(\overline{W}_n,S_n^2)$

— mbe