¿Cuál es el pdf del producto de dos variables aleatorias independientes X e Y, si X e Y son independientes? X es normal distribuido e Y es chi-cuadrado distribuido.

Z = XY

si tiene una distribución normal e tiene distribución Chi-cuadrado con grado de libertad whre u (y) es la función de paso unidad.$X$

$$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$ $$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$$ $Y$$k$ $$Y\sim \chi_k^2$$ $$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$$ $u(y)$

Ahora, ¿cuál es el pdf de $Z$ si $X$ e $Y$ son independientes?

Una forma de encontrar la solución es utilizar el resultado de Rohatgi bien conocido (1976, p.141) si $f_{XY}(x,y)$ sea la pdf conjunta de de RV continua $X$ y $Y$ , el pdf de $Z$ es

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$$

dado que $X$ e $Y$ son independientes f Z ( z ) = ∫ ∞ - ∞$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ fZ(z)=

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$$ $$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$$ Donde enfrentamos el problema de resolver la integral $\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$ . Hay alguien que me puede ayudar con este problema.

¿Hay alguna forma alternativa de resolver esto?

simplificar el término en la integral de

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

encuentre el polinomio tal que$p(y)$

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

que se reduce a encontrar tal que$p(y)$

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

o

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

que se puede hacer evaluando todos los poderes de separado$y$

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La solución anterior no funcionará ya que diverge.

Sin embargo, algunos otros han trabajado en este tipo de producto.

Usando la transformada de Fourrier:

Schoenecker, Steven y Tod Luginbuhl. "Funciones características del producto de dos variables aleatorias gaussianas y el producto de una variable aleatoria gaussiana y gamma". IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

Para el producto con e obtuvieron la función característica:$Z=XY$$X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

con la función de Whittaker ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )$D_\alpha$

Usando la transformación Mellin:

Springer y Thomson han descrito de manera más general la evaluación de productos de variables aleatorias distribuidas beta, gamma y gaussianas.

Springer, MD y WE Thompson. "La distribución de productos de beta, gamma y variables aleatorias gaussianas". Revista SIAM de Matemática Aplicada 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Usan la transformación integral de Mellin. La transformación Mellin de es el producto de las transformaciones Mellin de e (ver http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 o https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201 ). En los casos estudiados de productos, la transformación inversa de este producto puede expresarse como una función G de Meijer para la cual también proporcionan y prueban métodos computacionales.$Z$$X$$Y$

No analizaron el producto de una variable distribuida gaussiana y gamma, aunque es posible que pueda utilizar las mismas técnicas. Si trato de hacer esto rápidamente, creo que debería ser posible obtener una función H ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) aunque no veo directamente la posibilidad de obtener un G- funcionar o hacer otras simplificaciones.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

y

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

usted obtiene

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

y la distribución de es:$Z$

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

que me parece (después de un cambio de variables para eliminar el término ) como al menos una función H$2^{\frac{3}{2}(s-1)}$

lo que queda es el rompecabezas para expresar esta transformación inversa de Mellin como una función G. La ocurrencia de ambos y complica esto. En el caso separado para un producto de solo variables distribuidas gaussianas, podría transformarse en sustituyendo la variable . Pero debido a los términos de la distribución de chi-cuadrado, esto ya no funciona. Quizás esta es la razón por la cual nadie ha proporcionado una solución para este caso.$s$$s/2$$s/2$$s$$x=w^2$