Distribución posterior para la regresión lineal bayesiana

He estado investigando el uso de la regresión lineal bayesiana, pero he llegado a un ejemplo que me confunde.

Dado el modelo:

$${\bf y} = {\bf \beta}{\bf X} + \bf{\epsilon}$$

Asumiendo que ${\bf \epsilon} \sim N(0, \phi I)$ y un $p(\beta, \phi) \propto \frac{1}{\phi}$,

Como es $p(\beta|\phi, {\bf y})$ ¿alcanzado?

Dónde: $p(\beta|\phi, {\bf y}) \sim N({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1}{\bf X}^{\text{T}}{\bf y}, \phi ({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1})$.

A tu fórmula final le falta un paréntesis izquierdo.

Este es un problema estándar que no requiere trabajo difícil. La página de wikipedia sobre regresión bayesiana resuelve un problema más difícil; deberías poder usar el mismo truco (que es básicamente una forma de completar el cuadrado, ya que lo quieres en términos de$(\beta - m)' V^{-1} (\beta - m)$ para algunos $m$ y $V$), con menos términos de los que preocuparse. Es decir, llegas a algo como esto:

$$\begin{align}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)&= (\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})(\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta}) + \mathbf{S} \end{align}$$

dónde

$$\begin{align}\mathbf{S} = (\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})\end{align}$$

en el exponente

Vea también las referencias en el artículo de Wikipedia.

Si se trata de algún tema, márquelo como tarea.