El título resume mi pregunta, pero para mayor claridad considere el siguiente ejemplo simple. Deje , i = 1, ..., n . Definir: \ begin {ecation} S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ end {ecation} y \ begin {ecation} T_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n (X_i ^ 2 - 1) \ end {ecuación} Mi pregunta: aunque S_n y T_n son perfectamente dependientes cuando n = 1 , convergen \ sqrt {n} S_n y \ sqrt {n} T_n a una distribución normal conjunta como n \ rightarrow \ infty ?
La motivación: mi motivación para la pregunta surge del hecho de que se siente extraño (pero maravilloso) que y sean perfectamente dependientes cuando , pero la implicación de la CLT multivariante es que se acercan a la independencia como (Esto seguiría ya que y no están correlacionados para todo , por lo tanto, si son asintóticamente normales, entonces también deben ser asintóticamente independientes).
Gracias de antemano por cualquier respuesta o comentario!
ps, si puede proporcionar referencias, etc., ¡mucho mejor!