¿El teorema del límite central multivariado (CLT) se mantiene cuando las variables exhiben una dependencia contemporánea perfecta?

El título resume mi pregunta, pero para mayor claridad considere el siguiente ejemplo simple. Deje , . Definir: y Mi pregunta: aunque y son perfectamente dependientes cuando , convergen y a una distribución normal conjunta como ? $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ $i = 1, ..., n$

S_{norte} = \frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} X_{yo}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$

T_{norte} = \frac{1}{norte} \sum_{yo = 1}^{norte} (X_{yo}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$

S_{n}

$S_n$

T_{n}

$T_n$

n = 1

$n = 1$

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

La motivación: mi motivación para la pregunta surge del hecho de que se siente extraño (pero maravilloso) que $S_n$ y $T_n$ sean perfectamente dependientes cuando $n = 1$ , pero la implicación de la CLT multivariante es que se acercan a la independencia como $n \rightarrow \infty$ (Esto seguiría ya que $S_n$ y $T_n$ no están correlacionados para todo $n$ , por lo tanto, si son asintóticamente normales, entonces también deben ser asintóticamente independientes).

Gracias de antemano por cualquier respuesta o comentario!

ps, si puede proporcionar referencias, etc., ¡mucho mejor!

— Colin T Bowers
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Sin respuesta, pero un comentario. No me parece muy sorprendente. La dependencia que observa para n = 1 disminuye rápidamente a medida que n aumenta.

— Erik

@egbutter ha proporcionado una buena respuesta. Si todavía está buscando alguna alternativa o alguna intuición adicional, hágame ping y veré cómo escribir algo un poco diferente.

— cardenal

@cardinal Muchas gracias por la oferta, pero estoy bastante feliz en este punto: le di la recompensa a egbutter. Creo que tengo la intuición. Mi propósito principal al publicar era ver si alguien saltaba y decía "No, no, no, lo entendiste todo mal por ..." :-) Saludos.

— Colin T Bowers

Respuestas:

La respuesta corta, según entiendo su q, es "sí, pero ...", las tasas de convergencia en S, T y cualquier otro momento no son necesariamente las mismas: compruebe la determinación de los límites con el Teorema de Berry-Esseen .

En caso de que malinterprete su q, Sn y Tn incluso se aferran al CLT en condiciones de dependencia débil (mezcla): consulte el CLT de Wikipedia para ver los procesos dependientes .

CLT es un teorema tan general: la prueba básica no requiere nada más que la función característica de Sn y Tn converge a la función característica de la normal estándar, entonces el Teorema de continuidad de Levy dice que la convergencia de la función característica implica la convergencia de la distribución.

John Cook proporciona una gran explicación del error CLT aquí .

— egbutter
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Gracias por la respuesta. No estoy realmente preocupado por la tasa de convergencia en lo que respecta a esta pregunta, ni si el CLT se mantendrá bajo condiciones más generales, por ejemplo, dependencia. Lo que realmente esperaba es una referencia o declaración que justifique el uso del CLT multivariante cuando el componente i-ésimo de cada suma exhibe una dependencia contemporánea perfecta. Posteriormente, he encontrado una referencia en la "Teoría del límite estocástico" de Davidson que indica que el CLT multivariante tiene una dependencia contemporánea arbitraria, pero todavía estoy buscando un poco de rigor en torno a esa afirmación.

— Colin T Bowers

Parece que estás pensando demasiado en esto. ¿Es su i en [1, n] los componentes "contemporáneos" a los que se refiere? Si es así, entonces el punto importante es que su Sn y Tn aún convergerán (puede probarlo usted mismo usando el mismo método que la prueba CLT de la "vieja escuela" mencionada anteriormente), pero para una i dada, sus errores sí lo harán. sé diferente. Eso no cambia el hecho de que CLT es válido. La distinción multi / univariante no es importante.

— egbutter

Sí, son los componentes contemporáneos. Buena sugerencia con respecto a ejecutar el ejemplo a través de una prueba. En realidad había hecho esto y no encontré ningún problema, lo que paradójicamente me puso más nervioso. Quizás estoy pensando demasiado en este momento :-) Gracias de nuevo por la respuesta. Si nadie más tiene una grieta en una respuesta al final del día, marcaré su respuesta como la respuesta. Salud.

— Colin T Bowers

Ciertamente puedo sentir empatía, ¡a menudo hago lo mismo! :)

— egbutter

Esto no prueba nada, por supuesto, pero siempre encuentro que hacer simulaciones y trazar gráficos es muy útil para dar sentido a los resultados teóricos.

$n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Hong Ooi
fuente