¿Cuál es el más grande de un grupo de variables aleatorias distribuidas normalmente?

Tengo variables aleatorias $X_0,X_1,\dots,X_n$ . $X_0$ tiene una distribución normal con media $\mu>0$ y varianza $1$ . Los $X_1,\dots,X_n$ rvs se distribuyen normalmente con media $0$ y varianza $1$ . Todo es mutuamente independiente.

Supongamos que $E$ denota el evento de que $X_0$ es el mayor de estos, es decir, $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ . Quiero calcular o estimar $\Pr[E]$ . Estoy buscando una expresión para $\Pr[E]$ , en función de $\mu,n$ , o una estimación o aproximación razonable para $\Pr[E]$ .

En mi aplicación, es fijo ( n = 61 ) y quiero encontrar el valor más pequeño para μ que haga Pr [ E ] ≥ 0.99 , pero también tengo curiosidad sobre la pregunta general.$n$$n=61$$\mu$$\Pr[E] \ge 0.99$

El cálculo de tales probabilidades ha sido estudiado ampliamente por los ingenieros de comunicaciones bajo el nombre de señalización ortogonal -ary$M$ donde el modelo es que una de las señales ortogonales igualmente energéticas igualmente probables se transmiten y el receptor que intenta decidir cuál se transmitió al examinar el salidas de filtros M adaptadas a las señales. Condicionadas a la identidad de la señal transmitida, las salidas de muestra de los filtros coincidentes son (condicionalmente) variables aleatorias normales independientes de varianza unitaria. La salida de muestra del filtro que coincide con la señal transmitida es una N ( μ , 1 $M$$M$$N(\mu,1)$variable aleatoria, mientras que las salidas de todos los demás filtros son variables aleatorias.$N(0,1)$

La probabilidad condicional de una decisión correcta (que en el presente contexto es el evento ) condicionado a X 0 = α es P ( C ∣ X 0 = α ) = n ∏ i = 1 P { X i < α ∣ X 0 = α } = [ Φ ( α $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$$X_0 = \alpha$ dondeΦ(⋅

$$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$$ $\Phi(\cdot)$ es la distribución de probabilidad acumulativa de una variable aleatoria normal estándar y, por lo tanto, la probabilidad incondicional es donde ϕ ( ⋅ ) es la función de densidad normal estándar. No existe una expresión de forma cerrada para el valor de esta integral que debe evaluarse numéricamente. Los ingenieros también están interesados ​​en el evento complementario, que la decisión es errónea, pero no les gusta calcular esto como P { X 0 < max i X i } = P ( E ) = 1 - P ( C ) porque esto requiere una evaluación muy cuidadosa de la integral para P ( C $$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$$ $\phi(\cdot)$ $$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$$ $P(C)$ con una precisión de muchos dígitos significativos, y dicha evaluación es difícil y lleva mucho tiempo. En cambio, la integral para puede integrarse por partes para obtener P { X 0 < max i X i } = ∫ ∞ - ∞ n [ Φ ( α ) ] n - 1 ϕ ( α ) Φ ( α - μ $1-P(C)$ Esta integral es más fácil de evaluar numéricamente, y su valor en función de μ está graficado y tabulado (aunque desafortunadamente solo para n ≤ 20 ) en el Capítulo 5 deIngeniería de SistemasdeTelecomunicacionespor Lindsey y Simon, Prentice-Hall 1973, Dover Press 1991 Alternativamente, los ingenieros usan launión unidao la desigualdad de Bonferroni P { X 0 < max i X i $$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$$ $\mu$$n \leq 20$ $$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$$ dónde $Q(x) = 1-\Phi(x)$ es la función de distribución normal acumulativa complementaria.

Desde el límite de la unión, vemos que el valor deseado $0.01$ para $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ está acotado arriba por $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ qué límite tiene valor $0.01$ a $\mu = 5.09\ldots$. Esto es ligeramente mayor que el valor más exacto$\mu = 4.919\ldots$ obtenido por @whuber por integración numérica.

Más discusión y detalles sobre $M$Se puede encontrar una señalización ortogonal en las páginas 161-179 de mis apuntes para una clase sobre sistemas de comunicación '

Una respuesta formal:

La distribución de probabilidad (densidad) para el máximo de $N$ iid varia es: $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ where $p$ is the probability density and $\Phi$ is the cumulative distribution function.

From this you can calculate the probability that $X_0$ is greater than the $N-1$ other ones via $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

You may need to look into various approximations in order to tractably deal with this for your specific application.