¿Puede una distribución de probabilidad tener una desviación estándar infinita?

Creo que es una distribución de probabilidad, donde $p[x]$

pags [X] = \frac{1}{π (1 + X^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

ya que es positivo en todas partes y se integra a 1 en $-\infty, \infty$ .

La media es 0 por simetría, aunque la integración de $xp[x]$ en $-\infty, \infty$ no converge. Esto es "sospechoso" ya que se supone que $p[x]$ es una distribución de probabilidad, pero es razonable porque $xp[x]$ es $O(1/x)$ que se sabe que diverge.

El mayor problema está en calcular la desviación estándar. Como $x^2 p[x]$ también diverge, ya que $x^2 p[x]$ es $O(1)$ .

Si esto no es una distribución de probabilidad, ¿por qué no? Si es así, ¿es su desviación estándar infinita?

La función de distribución acumulativa es $\arctan[x]/\pi$ si eso ayuda.

Alguien mencionó que esto podría ser una distribución gamma, pero eso no está claro para mí.

distributions standard-deviation

— barrycarter
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@ user1566: formateé sus ecuaciones usando LaTex. ¿Verificaría que no introduje ningún error?

— csgillespie

Gracias, el problema está resuelto, así que ya no es un problema, pero sí, todo parece estar bien.

— barrycarter

La media de un Cauchy no es cero. De hecho, no existe. Por lo tanto, ninguno de sus momentos centrales tampoco.

— cardenal

mi respuesta a una pregunta relacionada se puede encontrar aquí. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

— Haitao Du

Para responder el título de su pregunta: Sí, una distribución de probabilidad puede tener una desviación estándar infinita (ver más abajo).

Su ejemplo es un caso especial de la distribución de Cauchy cuya media o varianza no existe. Establezca el parámetro de ubicación en 0 y la escala en 1 para que Cauchy llegue a su pdf.

Hay una diferencia entre la media y la varianza que no existe y que son infinitas.

— cardenal

$[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

— Alex R.
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