¿Alguien puede explicarme los parámetros de una distribución lognormal?

Estoy leyendo un poco y esta es la definición que obtuve del libro de DeGroot:

¿Eso significa que los parámetros son los mismos? Por ejemplo, suponga que X se distribuye de forma logarítmica normal e Y normalmente se distribuye donde Y = log (X). ¿Esto dice que X e Y tienen la misma media y DE aunque las distribuciones tengan formas diferentes? Si no, ¿a qué distribución se refieren μ y σ?

En otras palabras, si alguien dice que X está distribuido de forma lognormal con media μ y SD σ, ¿necesito hacer alguna conversión para que la media y la SD estén en términos normales?

normal-distribution lognormal

— confuso
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No confunda los parámetros de una familia de distribución con momentos. Aunque parametrizan las distribuciones Lognormal, no son sus medias o desviaciones estándar.

μ, σ

$\mu,\sigma$

— whuber

Tienen los mismos parámetros, pero no tienen la misma media o la misma desviación estándar. Los dos parámetros, y que son la media y la desviación estándar de no son la media y la desviación estándar de Pero la media y la desviación estándar de son funciones de y

μ

$\mu$

σ,

$\sigma,$

\log X,

$\log X,$

X .

$X.$

X

$X$

μ

$\mu$

σ .

$\sigma. \qquad$

— Michael Hardy

Respuestas:

suponga que X se distribuye de manera lognormal e Y normalmente se distribuye donde Y = log (X)

Aquí es donde estás confundido. No se hacen suposiciones sobre dos distribuciones, una de las cuales resulta ser el registro de la otra.

En cambio, comienzas con una distribución $X$ . Entonces consideras $\log X$ . Si $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ , luego decimos que la distribución original $X$ es lognormal con parámetros $\mu$ y $\sigma^2$ .

(Y luego la media de $X$ es $\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$ , por ejemplo, entonces los parámetros ciertamente no son los mismos. Esta es también la razón por la cual es mejor hablar de los "parámetros" de un lognormal, en lugar de "media y DE", porque es muy fácil confundirse si se refieren a la media real o la media logarítmica, lo mismo para DAKOTA DEL SUR.)

— Stephan Kolassa
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Ok, gracias por aclarar. En general, cuando las personas proporcionan los parámetros, como μ y σ, que se refieren a la distribución de Y o log (X). Para obtener la media de la distribución lognormal se requiere una conversión.

— confundido el

¡Buena respuesta! Llegué solo unos segundos tarde al publicar el mío. 😃

— Isabella Ghement

Pero los parámetros son los mismos. Entonces la media y la desviación estándar y muchas otras cosas son iguales, pero esos dos parámetros son los mismos.

— Michael Hardy

@MichaelHardy: sí, los parámetros son los mismos, por definición. Solo hago una mueca cada vez que alguien llama

μ

$\mu$ el "parámetro medio de lognormal", porque es solo el log-mean, y es muy fácil confundirlos.

— Stephan Kolassa

Wikipedia tiene un buen artículo sobre distribuciones normales de registro: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution . El artículo revela que el registro de distribución normal X y el registro de distribución normal (X) tienen diferentes medios y desviaciones estándar.

Si X sigue una distribución logarítmica normal con parámetros $\mu$ y $\sigma$ , entonces $\mu$ y $\sigma$ representan la media y la desviación estándar de la distribución de log (X), que es normal. En otras palabras, la media y la desviación estándar del registro normalmente distribuido (X) son:

Significado de $\log(X)=\mu$

SD de $\log(X) = \sigma$

La desviación media y estándar de la X distribuida normalmente logarítmica es la siguiente:

Media de X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD de X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$

— Isabella Ghement
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La respuesta de Isabella Ghement es buena. Solo quería señalar que en esa respuesta, SD of X tiene un error tipográfico. exp [𝜎 ^ 2−1] debería ser (exp [𝜎 ^ 2] −1). Estaba haciendo un muestreo de Monte Carlo para verificar la media y la DE de una distribución logarítmica normal y mi DE no coincidía con la expresión anterior. Verificó la página wiki vinculada y anotó el error tipográfico. PD: En realidad quería agregar un comentario a la respuesta de @Isabella Ghement, pero no tengo las credenciales necesarias para hacerlo. Agregar una nueva respuesta en su lugar.

— Ajay A