ARMA
ytp,qIt−1ytμtytIt−1ut
ytμtut|It−1=μt+ut;=φ1yt−1+…+φpyt−p+θ1ut−1+…+θqut−q (known, predetermined); ∼D(0,σ2) (random)
D
μtp,q
μt=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m,
m:=max(p,q)φi=0i>pθj=0j>qp,mp,qyt
También podemos escribir la distribución condicional de en términos de sus medios condicionales pasados (en lugar de los valores realizados anteriores) y los parámetros del modelo comoyt
ytμtσ2t∼D(μt,σ2t);=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m;=σ2,
La última representación facilita la comparación de ARMA a GARCH y ARMA-GARCH.
GARCH
Considere que sigue un proceso GARCH ( ). Supongamos, por simplicidad, que tiene una media constante. Luegoyts,r
ytμtσ2tutσt∼D(μt,σ2t);=μ;=ω+α1u2t−1+…+αsu2t−s+β1σ2t−1+…+βrσ2t−r;∼i.i.D(0,1),
donde y es cierta densidad.ut:=yt−μtD
La varianza condicional sigue un proceso similar a ARMA ( ) pero sin el término de error contemporáneo aleatorio.σ2ts,r
GARMA DE ARMA
Considere que tiene media cero incondicional y sigue un proceso ARMA ( ) -GARCH ( ). Luegoytp,qs,r
ytμtσ2tutσt∼D(μt,σ2t);=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m;=ω+α1u2t−1+…+αsu2t−s+β1σ2t−1+…+βrσ2t−r;∼i.i.D(0,1),
donde ; es cierta densidad, por ejemplo, Normal; para ; y para . D φ i = 0 i > p θ j = 0 j > qut:=yt−μtDφi=0i>pθj=0j>q
El proceso de media condicional debido a ARMA tiene esencialmente la misma forma que el proceso de varianza condicional debido a GARCH, solo los órdenes de retraso pueden diferir (permitiendo una media incondicional no nula de no debería cambiar este resultado significativamente). Es importante destacar que ninguno de los términos de error aleatorio una vez condicionado a , por lo tanto , ambos están predeterminados.I t - 1ytIt−1