¿Cuál es la diferencia entre GARCH y ARMA?


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Estoy confundido. No entiendo la diferencia entre un proceso ARMA y un proceso GARCH ... para mí existen los mismos no?

Aquí está el proceso (G) ARCH (p, q)

σt2=α0+i=1qαirti2ARCH+i=1pβiσti2GARCH

Y aquí está el ARMA ( p,q ):

Xt=c+εt+i=1pφiXti+i=1qθiεti.

¿El ARMA es simplemente una extensión de GARCH, GARCH se usa solo para retornos y con la suposición r=σε donde ε sigue un proceso blanco fuerte?


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Además de la respuesta de fg nu, el proceso de variación en GARCH varía en el tiempo. Sin embargo, hay un truco aquí que, dada una serie temporal de retorno logarítmico de SP500, para obtener el proceso de volatilidad, ¿qué debemos hacer? Algunas personas dicen que necesitamos usar el modelo ARMA para retirar las series residuales, y luego conectar esta serie residual al modelo GARCH para obtener el proceso de varianza condicional. ¿O conecte directamente el registro de retorno conecte el proceso de registro de retorno de SP500 en el modelo GARCH para obtener la varianza condicional?

Respuestas:


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Está combinando las características de un proceso con su representación. Considere el proceso (retorno) .(Yt)t=0

  • Un modelo ARMA (p, q) especifica la media condicional del proceso como

Aquí,Ites la información establecida en el tiempot, que es elálgebraσgenerado por los valores rezagados del proceso de resultado(Yt).

E(YtIt)=α0+j=1pαjYtj+k=1qβkϵtk
Ittσ(Yt)
  • El modelo GARCH (r, s) especifica la varianza condicional del proceso
    V(YtIt)=V(ϵtIt)σt2=δ0+l=1rδjσtl2+m=1sγkϵtm2

V(YtIt)=V(ϵtIt)

ϵtσtZt
Zt
  • Yt=α0+j=1pαjYtj+k=1qβkϵtk+ϵtE(ϵtIt)=0,tV(ϵtIt)=δ0+l=1rδlσtl2+m=1sγmϵtm2t

t1

Ittσ(Yt)It=σ(Yt1,Yt2,)It1t
tchakravarty

¡Agradable! ¿Sabes por qué usamos el álgebra sigma y no una filtración?
Jase

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(It)t=0

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Editar: me di cuenta de que faltaba la respuesta y, por lo tanto, proporcioné una respuesta más precisa (ver más abajo, o tal vez más arriba). He editado este por errores de hecho y lo dejo para el registro.


Diferentes parámetros de enfoque:

  • ARMA es un modelo para la realización de un proceso estocástico que impone una estructura específica de la media condicional del proceso.
  • GARCH es un modelo para la realización de un proceso estocástico que impone una estructura específica de la varianza condicional del proceso.

Modelo estocástico versus determinista:

  • ARMA es un modelo estocástico en el sentido de que la variable dependiente, las realizaciones del proceso estocástico, se especifica como la suma de una función determinista de variable dependiente rezagada y error de modelo rezagado (la media condicional) y un término de error estocástico.
  • GARCH es un modelo determinista en el sentido de que la variable dependiente, la varianza condicional del proceso, es una función puramente determinista de las variables rezagadas.

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rt=σtεtεtt

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@mpiktas, cierto. Si el modelo GARCH contiene dos ecuaciones, una para la media condicional (un ejemplo del cual escribió anteriormente) y la otra para la varianza condicional (que es intuitivamente, aunque no matemáticamente, "la ecuación principal" del modelo), mi argumento solo se aplica a la última ecuación.
Richard Hardy

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ARMA

ytp,qIt1ytμtytIt1ut

yt=μt+ut;μt=φ1yt1++φpytp+θ1ut1++θqutq  (known, predetermined);ut|It1 D(0,σ2)  (random)

D

μtp,q

μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm,
m:=max(p,q)φi=0i>pθj=0j>qp,mp,qyt

También podemos escribir la distribución condicional de en términos de sus medios condicionales pasados ​​(en lugar de los valores realizados anteriores) y los parámetros del modelo comoyt

ytD(μt,σt2);μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm;σt2=σ2,

La última representación facilita la comparación de ARMA a GARCH y ARMA-GARCH.

GARCH

Considere que sigue un proceso GARCH ( ). Supongamos, por simplicidad, que tiene una media constante. Luegoyts,r

ytD(μt,σt2);μt=μ;σt2=ω+α1ut12++αsuts2+β1σt12++βrσtr2;utσti.i.D(0,1),

donde y es cierta densidad.ut:=ytμtD

La varianza condicional sigue un proceso similar a ARMA ( ) pero sin el término de error contemporáneo aleatorio.σt2s,r

GARMA DE ARMA

Considere que tiene media cero incondicional y sigue un proceso ARMA ( ) -GARCH ( ). Luegoytp,qs,r

ytD(μt,σt2);μt=φ1μt1++φpμtp+(φ1+θ1)ut1++(φm+θm)utm;σt2=ω+α1ut12++αsuts2+β1σt12++βrσtr2;utσti.i.D(0,1),

donde ; es cierta densidad, por ejemplo, Normal; para ; y para . D φ i = 0 i > p θ j = 0 j > qut:=ytμtDφi=0i>pθj=0j>q


El proceso de media condicional debido a ARMA tiene esencialmente la misma forma que el proceso de varianza condicional debido a GARCH, solo los órdenes de retraso pueden diferir (permitiendo una media incondicional no nula de no debería cambiar este resultado significativamente). Es importante destacar que ninguno de los términos de error aleatorio una vez condicionado a , por lo tanto , ambos están predeterminados.I t - 1ytIt1


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Los procesos ARMA y GARCH son muy similares en su presentación. La línea divisoria entre los dos es muy delgada ya que obtenemos GARCH cuando se supone un proceso ARMA para la varianza del error.

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