¿Dibujar enteros de forma independiente y uniforme al azar de 1 a

Deseo dibujar números enteros del 1 a un $N$ específico tirando un número de dados de seis lados (d6). Una buena respuesta explicará por qué su método produce enteros uniformes e independientes .

Como ejemplo ilustrativo, sería útil explicar cómo funciona una solución para el caso de $N=150$ .

Además, deseo que el procedimiento sea lo más eficiente posible: tira el menor número de d6 en promedio por cada número generado.

Se permiten conversiones de senario a decimal.

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Esta pregunta fue inspirada por este hilo Meta .

El conjunto $\Omega(d,n)$ de resultados identificables distintos en $n$ tiradas independientes de un dado con $d=6$ caras tiene $d^n$ elementos. Cuando el dado es justo, eso significa que cada resultado de una tirada tiene probabilidad $1/d$ independencia significa que cada uno de estos resultados tendrá, por lo tanto, probabilidad $(1/d)^n:$ es decir, tienen una distribución uniforme $\mathbb{P}_{d,n}.$

Suponga que ha ideado algún procedimiento $t$ que determina $m$ resultados de un dado de $c (=150)$ , es decir, un elemento de $\Omega(c,m)$ o bien informa un fallo (lo que significa que tendrá que repetir para obtener un resultado). Es decir,

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

Sea $F$ la probabilidad de que $t$ resulte en una falla y tenga en cuenta que $F$ es un múltiplo integral de $d^{-n},$ digamos

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(Para referencia futura, nota que el número esperado de veces debe invocar antes de fallar no es )$t$$1/(1-F).$

El requisito de que estos resultados en sean uniformes e independiente condicional en no informar medios de fallo que conservas probabilidad en el sentido de que para cada evento$\Omega(c,m)$t t A ⊂ Ω ( c , m ) ,$t$$t$$\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

dónde

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

es el conjunto de tiradas de dado que el procedimiento asigna al evento$t$$\mathcal A.$

Considere un evento atómico , que debe tener una probabilidadDeje que (las tiradas de dados asociadas con ) tienen elementos . convierte$\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$$c^{-m}.$$t^{*}\left(\mathcal A\right)$$\eta$$N_\eta$$(1)$

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

Es inmediato que los son todos iguales a algún número entero$N_\eta$$N.$t . C Solo queda encontrar los procedimientos más eficientes El número esperado de no fallas por tirada del dado es$t.$$c$

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

Hay dos implicaciones inmediatas y obvias. Una es que si podemos mantener pequeño a medida que crece, entonces el efecto de informar una falla es asintóticamente cero. La otra es que para cualquier dada (el número de tiradas del dado para simular), queremos que más pequeño posible.$F$$m$$m$$c$$F$

Echemos un vistazo más de cerca a borrando los denominadores:$(2)$

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

Esto hace obvio que en un contexto dado (determinado por ), se hace lo más pequeño posible haciendo que igual al múltiplo más grande de que sea menor o igual que Podemos escribir esto en términos de la función entera más grande (o "piso") como$c,d,n,m$$F$$d^n-N_F$$c^m$$d^n.$$\lfloor*\rfloor$

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

Finalmente, está claro que debe ser lo más pequeño posible para lograr la mayor eficiencia, ya que mide la redundancia en . Específicamente, el número esperado de tiradas del dado de lado necesario para producir un lanzamiento del dado de lado es$N$t d c$t$$d$$c$

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

Por lo tanto, nuestra búsqueda de procedimientos de alta eficiencia debería centrarse en los casos en que es igual o apenas mayor que alguna potencia$d^n$$c^m.$

El análisis termina mostrando que para y dados hay una secuencia de múltiplos para los cuales este enfoque se aproxima a la eficiencia perfecta. Esto equivale a encontrar para el cual acerca a en el límite (garantizando automáticamente ). Una de estas secuencias se obtiene tomando y determinando$d$$c,$$(n,m)$$(n,m)$$d^n/c^m \ge 1$$N=1$$F\to 0$$n=1,2,3,\ldots$

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

La prueba es sencilla.

Todo esto significa que cuando estamos dispuestos a tirar el dado original sided un número suficientemente grande de veces podemos esperar simular casi resultados de un dado sided por tirada . Equivalentemente$d$$n,$$\log d / \log c = \log_c d$$c$

Es posible simular un gran número de tiradas independientes de un dado de utilizando un dado de justo usando un promedio de pasa por resultado donde puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo suficientemente grande.$m$$c$$d$$\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$$\epsilon$$m$

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Ejemplos y algoritmos

En la pregunta, y de donde$d=6$$c=150,$

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

Por lo tanto, el mejor procedimiento posible requerirá, en promedio, al menos rollos de a para simular cada resultado.$2.796489$d6d150

El análisis muestra cómo hacer esto. No necesitamos recurrir a la teoría de números para llevarla a cabo: podemos tabular las potencias las potencias y compararlas para encontrar dónde están cerca. Este cálculo de fuerza bruta da pares$d^n=6^n$$c^m=150^m$$c^m \le d^n$$(n,m)$

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

por ejemplo, correspondiente a los números

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

En el primer caso, asociaría de los resultados de tres tiradas de a a Fracaso y los otros resultados se asociarían a un único resultado de a . $t$$216-150=66$d6$150$d150

En el segundo caso, asociaría de los resultados de 14 tiradas de a a Fracaso, alrededor del 3,1% de todas ellas, y de lo contrario generaría una secuencia de 5 resultados de a .$t$$78364164096-75937500000$d6d150

Un algoritmo simple para implementar$t$ etiqueta las caras del dado con lados con los números y las caras del dado con lados con los números Las tiradas del primer dado se interpretan como un número de dígitos en la base Esto se convierte en un número en la base Si tiene como máximo dígitos, la secuencia de los últimos dígitos es la salida. De lo contrario, devuelve Fallo invocando recursivamente.$d$$0,1,\ldots, d-1$$c$$0,1,\ldots, c-1.$$n$$n$$d.$$c.$$m$$m$$t$

Para secuencias mucho más largas, puede encontrar pares adecuados considerando cualquier otro convergente de la expansión de fracción continua de La teoría de las fracciones continuas muestra que estos convergentes alternan entre ser menor que y mayor que él (suponiendo que ya no es racional). Elija aquellos que son menores que$(n,m)$$n/m$$x=\log(c)/\log(d).$$x$$x$$x.$

En la pregunta, los primeros convergentes son

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

En el último caso, una secuencia de 29,036,139 rollos de a d6producirá una secuencia de 10,383,070 rollos de a d150con una tasa de falla menor a para una eficiencia de indistinguible del límite asintótico.$2\times 10^{-8},$$2.79649$

Para el caso de , tirar un d6 tres veces claramente crea resultados.$N=150$$6^3=216$

El resultado deseado se puede tabular de esta manera:

• Grabe un d6 tres veces secuencialmente. Esto produce resultados . El resultado es uniforme porque todos los valores de son igualmente probables (los dados son justos y estamos tratando cada lanzamiento como distinto).$a,b,c$$a,b,c$
• Resta 1 de cada uno.
• Este es un número senario: cada dígito (valor posicional) va de 0 a 5 por potencias de 6, por lo que puede escribir el número en decimal usando $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• Añadir 1.
• Si el resultado excede 150, deseche el resultado y vuelva a tirar.

La probabilidad de mantener un resultado es . Todos los rollos son independientes, y repetimos el procedimiento hasta un "éxito" (un resultado en ) por lo que el número de intentos de generar 1 empate entre 1 y 150 se distribuye como una variable aleatoria geométrica, que tiene expectativa . Por lo tanto, usar este método para generar 1 sorteo requiere tirar tiradas de dados en promedio (porque cada intento tira 3 dados).$p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$$1,2,\dots,150$$p^{-1}=\frac{36}{25}$$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$

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Gracias a @whuber por sugerir esto en el chat.

Aquí hay una alternativa aún más simple a la respuesta de Sycorax para el caso donde . Desde puede realizar el siguiente procedimiento:$N=150$$150 = 5 \times 5 \times 6$

Generando un número aleatorio uniforme del 1 al 150:

• Haga tres tiradas ordenadas de 1D6 y como .$R_1, R_2, R_3$
• Si cualquiera de los dos primeros lanzamientos es un seis, vuelva a tirar hasta que no sea 6.
• El número es un número uniforme que usa notación posicional con una raíz de 5-5-6. Por lo tanto, puede calcular el número deseado como: $(R_1, R_2, R_3)$ $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

Este método puede generalizarse a más grande , pero se vuelve un poco más incómodo cuando el valor tiene uno o más factores primos mayores que .$N$$6$

Como ilustración de un algoritmo para elegir uniformemente entre valores usando dados de seis lados, intente esto que usa cada tirada para multiplicar los valores disponibles por y hacer que cada uno de los nuevos valores sea igualmente probable:$150$$6$

• Después de tiradas, tiene posibilidad, no suficiente para distinguir valores.$0$$1$$150$
• Después de tirada, tienes posibilidades, no suficientes para distinguir valores.$1$$6$$150$
• Después de tiradas, tiene posibilidades, no suficientes para distinguir valores.$2$$36$$150$
• Después de tiradas, tiene posibilidades, suficientes para distinguir valores pero con valores restantes; la probabilidad de detenerse ahora es$3$$216$$150$$66$$\frac{150}{216}$
• Si no se ha detenido, después de tiradas tiene posibilidades restantes, suficientes para distinguir valores de dos maneras pero con valores restantes; la probabilidad de detenerse ahora es$4$$396$$150$$96$$\frac{300}{1296}$
• Si no te has detenido, entonces después $5$ tiradas tiene posibilidades restantes, suficientes para distinguir valores de tres maneras pero con valores restantes; la probabilidad de detenerse ahora es$576$$150$$96$$\frac{450}{7776}$
• Si no se ha detenido, después de 756 150 6 750$6$ tiradas tiene posibilidades restantes, suficientes para distinguir valores de cinco maneras pero con valores restantes; la probabilidad de detenerse ahora es$756$$150$$6$$\frac{750}{46656}$

Si está en uno de los valores restantes después de lanzamientos, entonces se encuentra en una situación similar a la posición después de lanzamiento. Entonces puede continuar de la misma manera: la probabilidad de detenerse después de tiradas es , después de tiradas es etc.$6$$6$$1$$7$$\frac{0}{279936}$$8$$\frac{150}{1679616}$

Sume estos y encontrará que el número esperado de rollos necesarios es de aproximadamente . Proporciona una selección uniforme de los , ya que solo selecciona un valor a la vez cuando puede seleccionar cada uno de los con la misma probabilidad$3.39614$$150$$150$

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Sycorax pidió en los comentarios un algoritmo más explícito

• Primero, trabajaré en base $6$ con $150_{10}=410_6$
• Segundo, en lugar de los valores objetivo $1_6$ a $410_6$ , restaré uno para que los valores objetivo sean $0_6$ a $409_6$
• Tercero, cada dado debe tener valores de $0_6$ a $5_6$ , y lanzar un dado implica agregar un dígito $6$ base 6 al lado derecho del número generado existente. Los números generados pueden tener ceros a la izquierda, y su número de dígitos es el número de rollos hasta ahora

El algoritmo es sucesivos lanzamientos de dados:

• Tira los primeros tres dados para generar un número de $000_6$ a$555_6$ . Como $1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$ , toma el valor generado (que también es su resto en la división entre$410_6$ ) si el valor generado está estrictamente por debajo de$1000_6-150_6=410_6$ y se detiene;

• Si continúa, tire el cuarto dado para que haya generado un número de $4100_6$ a$5555_6$ . Como $10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$ , toma el resto del valor generado en la división entre$410_6$ si el valor generado está estrictamente por debajo de$10000_6-240_6=5320_6$ y se detiene;

• Si continúa, tire el quinto dado para que haya generado un número de $53200_6$ a $55555_6$ . Como $100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$ , toma el resto del valor generado en la división entre $410_6$ si el valor generado está estrictamente por debajo de $100000_6-330_6=55230_6$ y se detiene;

• Si continúa, tire el sexto dado para que haya generado un número de $552300_6$ a $555555_6$ . Como $1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$ , toma el resto del valor generado en la división entre $410_6$ si el valor generado está estrictamente por debajo de $1000000_6-10_6=555550_6$ y se detiene;

• etc.