Expectativa condicional de variables aleatorias uniformes según estadísticas de orden

Suponga que X = ~ , donde .$(X_1, ..., X_n)$$U(\theta, 2\theta)$$\theta \in \Bbb{R}^+$

¿Cómo se calcula la expectativa condicional de $E[X_1|X_{(1)},X_{(n)}]$, dónde $X_{(1)}$ y $X_{(n)}$ Cuáles son las estadísticas de pedido más pequeñas y más grandes respectivamente?

Mi primer pensamiento sería que, dado que las estadísticas del pedido limitan el rango, es simplemente $(X_{(1)}+X_{(n)})/2$, pero no estoy seguro si esto es correcto!

Considere el caso de una muestra iid $X_1, X_2, \ldots, X_n$ de un uniforme$(0,1)$distribución. Escalando estas variables por$\theta$ y traduciéndolos por $\theta$ les otorga un uniforme$(\theta, 2\theta)$distribución. Todo lo relevante para este problema cambia de la misma manera: las estadísticas del pedido y las expectativas condicionales. Por lo tanto, la respuesta obtenida en este caso especial se mantendrá en general.

Dejar $1\lt k\lt n.$ Al emular el razonamiento en https://stats.stackexchange.com/a/225990/919 (o en otro lugar), descubra que la distribución conjunta de$(X_{(1)}, X_{(k)}, X_{(n)})$ tiene función de densidad

$$f_{k;n}(x,y,z) = \mathcal{I}(0\le x\le y\le z \le 1) (y-x)^{k-2}(z-y)^{n-k-1}.$$

Fijación $(x,z)$ y viendo esto en función de $y,$ esto es reconocible como Beta$(k-1, n-k)$ distribución que se ha escalado y traducido al intervalo $[x,z].$ Por lo tanto, el factor de escala debe ser $z-x$ y la traducción toma $0$ a $x.$

Desde la expectativa de una Beta$(k-1,n-k)$la distribución es$(k-1)/(n-1),$ encontramos que la expectativa condicional de $X_{(k)}$debe ser la expectativa traducida y escalada; a saber,

$$\mathbb{E}\left(X_{(k)}\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}.$$

Los casos $k=1$ y $k=n$ son triviales: sus expectativas condicionales son, respectivamente, $X_{(1)}$ y $X_{(k)}.$

Encontremos la expectativa de la suma de todas las estadísticas de pedidos:

$$\mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) = X_{(1)} + \sum_{k=2}^{n-1} \left(X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{k-1}{n-1}\right) + X_{(n)}.$$

El álgebra se reduce a obtener la suma.

$$\sum_{k=2}^{n-1}(k-1) = (n-1)(n-2)/2.$$

Así

$$\eqalign{ \mathbb{E}\left(\sum_{k=1}^n X_{(k)}\right) &= (n-1)X_{(1)} + \left(X_{(n)}-X_{(1)}\right) \frac{(n-1)(n-2)}{2(n-1)} + X_{(n)} \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right). }$$

Finalmente, porque el $X_i$ están idénticamente distribuidos, todos tienen la misma expectativa, de donde

$$\eqalign{n\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) &= \mathbb{E}\left(X_1\right) + \mathbb{E}\left(X_2\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_n\right)\\ &= \mathbb{E}\left(X_{(1)}\right) + \mathbb{E}\left(X_{(2)}\right) + \cdots + \mathbb{E}\left(X_{(n)}\right) \\ &= \frac{n}{2}\left(X_{(n)}+X_{(1)}\right), }$$

con la solución única

$$\mathbb{E}\left(X_1\mid X_{(1)}, X_{(n)}\right) = \left(X_{(n)}+X_{(1)}\right)/2.$$

---

Merece la pena señalar que este resultado no es una consecuencia única de la simetría de la distribución uniforme: es particular de la familia uniforme de distribuciones. Para cierta intuición, considere los datos extraídos de una Beta$(a,a)$ distribución con $a \lt 1.$ Las probabilidades de esta distribución se concentran cerca $0$ y $1$(su densidad tiene forma de U o "bañera"). Cuando$X_{(n)}\lt 1/2,$ podemos estar seguros de que la mayoría de los datos se acumulan cerca de $X_{(1)}$ y por lo tanto tenderá a tener expectativas inferiores al punto medio $(X_{(1)}+X_{(n)})/2;$ y cuando $X_{(1)}\gt 1/2,$ the opposite happens and most of the data are likely piled up close to $X_{(n)}.$

The following is not a proof but a verification of the desired result once you know that $(X_{(1)},X_{(n)})$ is a complete statistic for $\theta$ :

Joint pdf of $X_1,X_2,\ldots,X_n$ is

$$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\ldots,x_n)&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\theta<x_{(1)},x_{(n)}<2\theta} \\&=\frac{1}{\theta^n}\mathbf1_{\frac{1}{2}x_{(n)}<\theta<x_{(1)}}\quad,\,\theta\in\mathbb R^+ \end{align}$$

So $T=(X_{(1)},X_{(n)})$ is a sufficient statistic for $\theta$. It can be shown that $T$ is also a complete statistic by proceeding along these lines.

Then by Lehmann-Scheffe theorem, $E\,[X_1\mid T]$ is the UMVUE of $E(X_1)=\frac{3\theta}{2}$.

Now, $\frac{1}{\theta}(X_i-\theta)\stackrel{\text{i.i.d}}\sim \mathsf U(0,1)$, so that $\frac{1}{\theta}(X_{(n)}-\theta)\sim\mathsf{Beta}(n,1)$ and $\frac{1}{\theta}(X_{(1)}-\theta)\sim \mathsf{Beta}(1,n)$.

Therefore, $E(X_{(n)})=\frac{n\theta}{n+1}+\theta=\frac{(2n+1)\theta}{n+1}$ and $E(X_{(1)})=\frac{\theta}{n+1}+\theta=\frac{(n+2)\theta}{n+1}$.

Hence,

$$E\left[\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})\right]=\frac{1}{2(n+1)}\left((n+2)\theta+(2n+1)\theta\right)=\frac{3\theta}{2}$$

This proves that $\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$ is the UMVUE of $\frac{3\theta}{2}$ by Lehmann-Scheffe.

Since UMVUE is unique whenever it exists, it verifies the claim that $E\,[X_1\mid T]=\frac{1}{2}(X_{(1)}+X_{(n)})$.