¿Cuándo e implica ?

La pregunta:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ e $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

Sé que esto no se cumple en general; El teorema de Slutsky solo se aplica cuando una o ambas convergencias tienen probabilidad.

Sin embargo, ¿hay casos en los que se hace espera?

Por ejemplo, si las secuencias e son independientes. $X_n$ $Y_n$

— mai
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Respuestas:

Formalizando la respuesta de @Ben, la independencia es casi una condición suficiente, porque sabemos que la función característica de la suma de dos RV independientes es el producto de sus funciones características marginales. Dejar

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$ . Bajo independencia de

X_{n}

$X_n$ y

Y_{n}

$Y_n$ ,

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

Entonces

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

y tenemos (ya que suponemos que e convergen) $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

cual es la función característica de ... si son independientes. Y serán independientes si uno de los dos tiene una función de distribución continua ( ver esta publicación ). Esta es la condición requerida además de la independencia de las secuencias, de modo que la independencia se conserva en el límite. $X+Y$ $X+Y$

Sin independencia tendríamos

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

y no se puede hacer una afirmación general sobre el límite.

— Alecos Papadopoulos
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Gran respuesta (+1). Creo que con este método también vale la pena señalar que la suposición más débil

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$ (independencia asintótica) va directamente a su segundo paso y también le da el resultado. Esto muestra que la independencia asintótica es suficiente para la propiedad deseada.

— Ben - Restablece a Monica

El teorema de Cramer-Wold da una condición necesaria y suficiente:

Dejar $\{z_n\}$ ser una secuencia de $R^K$ variables aleatorias valoradas. Entonces,

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Para dar un ejemplo, dejemos $U\sim N(0,1)$ y definir $W_n:=U$ tanto como $V_n:=(-1)^nU$ . Entonces trivialmente tenemos

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$ y, debido a la simetría de la distribución normal estándar, que

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$ Sin embargo,

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$ no converge en la distribución, ya que

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$ Esta es una aplicación del dispositivo Cramer-Wold para

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$ .

— Christoph Hanck
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Sí, la independencia es suficiente: las condiciones antecedentes aquí se refieren a la convergencia en la distribución de las distribuciones marginales de $\{ X_n \}$ y $\{ Y_n \}$ . La razón por la cual la implicación no se cumple generalmente es que no hay nada en las condiciones antecedentes que se ocupe de la dependencia estadística entre los elementos de las dos secuencias. Si fuera a imponer la independencia de las secuencias, eso sería suficiente para garantizar la convergencia en la distribución de la suma.

( Alecos ha agregado una excelente respuesta a continuación que demuestra este resultado usando funciones características. La independencia asintótica también es suficiente para esta implicación, ya que ocurre la misma descomposición limitante de las funciones características).

— Ben - Restablece a Monica
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La independencia de las secuencias puede no ser suficiente. También necesitas independencia de la limitación

X

$X$ y

Y

$Y$ . Si las secuencias son independientes pero

X = - Y

$X = -Y$ estás cocinado

— chico

La conclusión de que

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$ es el cdf de

X + Y

$X + Y$ En @Alecos la respuesta se basa en el hecho de que

X

$X$ y

Y

$Y$ son independientes Entonces requiere

X

$X$ y

Y

$Y$ ser independiente, si el modo de convergencia es

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$ . Suponer

X_{n}

$X_n$ y

Y_{n}

$Y_n$ son iid

N (0, 1)

$N(0,1)$ , entonces

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$ y

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$ , pero

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$ mientras

X + Y = 0

$X + Y = 0$ .

— chico

@Alecos Si acepta que convergen en un

N (0, 1)

$N(0,1)$ entonces usted trivialmente acepta que ambos convergen en distribución a

X_{1}

$X_1$ por definición. Ambos también convergen en distribución a

- X_{1}

$-X_1$ y a todos los demás

N (0, 1)

$N(0,1)$ variables aleatorias. La convergencia en la distribución no es como otros modos de convergencia, puede converger en la distribución a muchas variables aleatorias diferentes; la variable aleatoria limitante ni siquiera necesita definirse en el mismo espacio de probabilidad. Lo único que es único es la distribución marginal .

— chico

@Alecos dicho de otra manera, tenga en cuenta que la distribución de

X + Y

$X+Y$ Ni siquiera está bien definido simplemente hablando de que las secuencias son independientes. Tu puedes tener

X_{n} \to X

$X_n \to X$ y

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$ sin hacer ninguna suposición sobre la estructura de dependencia de

X

$X$ y

Y

$Y$ , incluso si hace suposiciones fuertes sobre la dependencia de

X_{n}

$X_n$ y

Y_{n}

$Y_n$ . Todo lo que hemos hecho es precisar los márgenes de

X

$X$ y

Y

$Y$ .

— chico

Oh; Creo entender. Estás diciendo que necesito una condición adicional sobre la independencia de

X

$X$ y

Y

$Y$ para mi declaración original en la pregunta para sostener. Por favor, avíseme si entiendo correctamente.

— mai