Distribución Gaussiana Like con momentos de orden superior

Para la distribución gaussiana con media y varianza desconocidas, la estadística suficiente en la forma familiar exponencial estándar es . Tengo una distribución que tiene , donde N es como un parámetro de diseño. ¿Existe una distribución conocida correspondiente para este tipo de vector estadístico suficiente? Necesito muestras de esta distribución, por lo que es crucial para mí obtener muestras exactas de la distribución. Muchas gracias. $T(x)=(x,x^2)$ $T(x)=(x,x^2,...,x^{2N})$

normal-distribution sampling exponential-family

— YBE
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¿Has intentado integrarte para encontrar el log-normalizador?

— Neil G

No está claro si estás hablando de momentos o estadísticas suficientes

— Henry

@NeilG, tengo un log-normalizador que es bastante complicado, lo que realmente me pregunto es si existe o no una distribución conocida con estadísticas tan suficientes,

— YBE

@Henry, estoy hablando de estadísticas suficientes, intenté hacer una analogía con el caso gaussiano, donde las estadísticas suficientes x corresponden a la media y x ^ 2 corresponde a la varianza / momento de segundo orden.

— YBE

@MichaelChernick: Para una estadística, medida de soporte y soporte suficientes, puede integrar el soporte para encontrar el log-normalizador. Si el log-normalizador es finito, entonces creo que la familia existe. Él ha hecho esto y está preguntando si esta familia tiene un nombre.

— Neil G

Si comienza con una estadística "suficiente" , puede definir un número infinito de distribuciones. Es decir, para cada función medible contra una medida arbitraria sobre su espacio de muestreo, es una densidad de una familia exponencial y, para cada una muestra de iid de esta densidad, la estadística es suficiente. Por ejemplo, para cualquier función medible , puede definir una densidad por $T(x)$ $h(\cdot)$ $\text{d}\lambda$

f (x | θ) = \exp {θ \cdot T (x) - τ (θ)} h (x)

$f(x|\theta) = \exp\left\{ \theta\cdot T(x)-\tau(\theta) \right\} \,h(x)$

n

$n$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\ldots,x_n)$

\sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$\sum_{i=1}^n T(x_i)$

h

$h$

h (x) \exp {- (x - μ)^{2} / σ^{2}} / \int_{R} h (y) \exp {- (y - μ)^{2} / σ^{2}} d λ (y)

$h(x)\,\exp\{-(x-\mu)^2/\sigma^2\} \Big/ \int_{\mathbb{R}} h(y)\,\exp\{-(y-\mu)^2/\sigma^2\} \,\text{d}\lambda(y)$ que significa que también es suficiente para esta distribución.

T (x) = (x, x^{2})

$T(x)=(x,x^2)$

Por lo tanto, cualquier par define una familia exponencial, lo que significa que su pregunta no tiene respuesta. $(h,T)$

— Xi'an
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