Distribución normal estándar en un subespacio

Dejar $U \subset \mathbb{R}^n$ ser un espacio vectorial con $\dim(U)=d$ . Una distribución normal estándar en $U$ es la ley de un vector aleatorio $X=(X_1, \ldots, X_n)$ tomando valores en $U$ y tal que las coordenadas de $X$ en uno ( $\iff$ en cualquier) base ortonormal de $U$ es un vector aleatorio hecho de $d$ distribuciones normales estándar independientes ${\cal N}(0, 1)$ .

Al leer esta pregunta, me hice la siguiente pregunta. Dejar $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ ser una distribución normal estándar en $\mathbb{R}^n$ . Es cierto que la distribución condicional de $Y$ dado $Y \in U$ es la distribución normal estándar en $U$ ?

La norma al cuadrado ${\Vert X \Vert}^2$ de tiene una distribución chi-cuadrado . Por lo tanto, si esto es cierto, eso explicaría la afirmación de @ Argha. $X$ $\chi^2_d$

Lo siento, si LaTeX está mal escrito, no veo la representación de LaTeX :(

EDITAR 10/01/2012: Ok, ya veo. Escriba la descomposición ortogonal de en . Entonces . Eso demuestra que . Esto es un poco heurístico pero moralmente correcto. Por último se desprende de la definición que es normal estándar en . $y=u+v$ $y$ $U\oplus U^\perp$

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$

P_{U} Y

$P_U Y$

U

$U$

normal-distribution conditioning

— Stéphane Laurent
fuente

¿No es esto terriblemente obvio cuando notas que una base ortonormal para siempre se puede construir extendiendo cualquier base ortonormal para ? (Una prueba: use Gram-Schmidt en cualquier extensión, ya sea ortonormal o no). Sobre esta base, el PDF es separable y a fortiori es normal normal en , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— whuber

@whuber Por favor, ¿podrías dar una respuesta? ¿Cómo se deriva la distribución condicional?

— Stéphane Laurent

¡Solo míralo ! Cuando un PDF absolutamente continuo se como , entonces (a) e son independientes y (b) y son las distribuciones condicionales .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— whuber

@whuber Acabo de regresar del trabajo. Pensaré en esto más tarde. Gracias. Por supuesto, creo que esto es obvio, pero estoy cansado.

— Stéphane Laurent

Si. Tienes que es un subespacio de . Sea y la matriz de proyección ortogonal en , de modo que sea simétrica e idempotente. Entonces . Esta es una distribución normal singular, que en el subespacio es la normal estándar en ese subespacio. Como una distribución singular, que no tiene una densidad con respecto a la medida de volumen en , pero tiene una densidad con respecto a la (inferior dim) medida de volumen en . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
fuente

No veo dónde demuestra que tiene la misma ley que condicional a ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Stéphane Laurent

Tenga en cuenta que, en resumen, ¡la probabilidad condicional (realmente expectativa, para obtener un espacio lineal ...) es una proyección! Así acondicionado de , cuando es un subespacio lineal, es el mismo que se proyecta en .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Lo sentimos, pero su reclamo no tiene sentido.

— Stéphane Laurent

Esa es la intuición, una prueba tal vez debe ser diferente. Estoy fuera de tiempo, pero nota que la distribución normal multivariante puede ser especificado por la especificación de la distribución (normal) de todas las combinaciones lineales de las componentes de . Cuando la matriz de covarianza es la proyección , elegir como una base ortonormal de . puede escribirse . Elija como coeficiente para la combinación lineal de , verá que la varianza es una. Elija para el coeficiente un vector de longitud uno ortogonal a , verá que la varianza es cero.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Así que la distribución de coincide con la normal estándar en , que es la distribución condicional de dado .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— kjetil b halvorsen