Distribución de suma de exponenciales

Deje que y sean variables aleatorias exponenciales independientes y distribuidas idénticamente con rate . Deje . $X_1$ $X_2$ $\lambda$ $S_2 = X_1 + X_2$

P: Muestre que tiene PDF . $S_2$ $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$

Tenga en cuenta que si los eventos ocurrieron de acuerdo con un Proceso de Poisson (PP) con tasa , representaría la hora del segundo evento. $\lambda$ $S_2$

Se aprecian enfoques alternativos. Los enfoques proporcionados se usan comúnmente al aprender la teoría de colas y los procesos estocásticos.

Recordemos que la distribución exponencial es un caso especial de la distribución Gamma (con el parámetro de forma ). He aprendido que hay una versión más general de este aquí que se puede aplicar. $1$

— SecretAgentMan
fuente

Esta pregunta es un caso muy especial (y uno de los ejemplos más simples posibles) de una suma de distribuciones Gamma. (El exponencial es una distribución Gamma con un parámetro de forma de ) Por lo tanto, puede aplicar cualquiera de las respuestas en stats.stackexchange.com/questions/72479 .

1.

$1.$

— whuber

Gracias. No estaba al tanto de esa pregunta más general , aunque sabía que Exponencial es una distribución Gamma con un parámetro de forma de 1. Espero que esté de acuerdo en que esta Q / A está bien tal cual y no debe eliminarse. Esta es una pregunta muy frecuente en algunas disciplinas de ingeniería y ciertamente es más accesible que saltar directamente a agregar distribuciones Gamma.

— SecretAgentMan

@whuber He actualizado la pregunta específicamente mencione la pregunta más general. Gracias.

— SecretAgentMan

Por las razones que dio y porque ha ofrecido una explicación clara de las soluciones que funcionan específicamente en este caso, no he votado para cerrar esto como un duplicado.

— Whuber

Creo que la votación de su pregunta y su respuesta ha indicado claramente lo que la comunidad piensa de este hilo. :-)

— whuber

Condición de aproximación
condicionante sobre el valor de . Comience con la función de distribución acumulativa (CDF) para . $X_1$ $S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Este es el CDF de la distribución. Para obtener el PDF, diferencie con respecto a ( ver aquí ). $x$

f_{S_{2}} (x) = λ^{2} x e^{- λ x} ◻

$f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Esta es una distribución Erlang (ver aquí) . $(2,\lambda)$

Enfoque general
Integración directa basada en la independencia de y . Nuevamente, comience con la función de distribución acumulativa (CDF) para . $X_1$ $X_2$ $S_2$

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Como se trata del CDF, la diferenciación da el PDF, $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

Enfoque de MGF
Este enfoque utiliza la función de generación de momento (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$

Si bien esto puede no producir el PDF, una vez que el MGF coincide con el de una distribución conocida, también se conoce el PDF.

— SecretAgentMan
fuente

Escribiste tanto la pregunta como la respuesta. ¿Cuál es su punto, si puedo preguntar?

— Xi'an

@ Xi'an, pensé que SE alentó a hacer la pregunta y responderla ... Puedo capturar la pantalla donde SE parece alentarlo si lo desea. He visto muchas preguntas básicas repetidas veces y he estado pensando en publicar algunos enfoques específicos para referir a las personas. No pude encontrar algo como esto y puedo referir a las personas a esto para una variedad de cosas. Si la comunidad de CV realmente odia tanto esta publicación, la eliminaré voluntariamente.

— SecretAgentMan

@ Xi'an, respetuosamente, creo que ambos hicieron y respondieron una pregunta aquí .

— SecretAgentMan

@ Xi'an Es posible que desee leer stats.stackexchange.com/help/self-answer

— Sycorax dice Reinstate Monica el

@Alex buena pregunta. No estaba pensando en obtener PDF analíticamente de MGF. En cambio, si identifica el MGF, entonces ha resuelto el problema (vea mi edición).

— SecretAgentMan