¿Cuándo, si alguna vez, una estadística mediana es una estadística suficiente?


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Me encontré con un comentario en The Chemical Statistician de que una mediana de muestra a menudo podría ser una opción para una estadística suficiente, pero, además del caso obvio de una o dos observaciones donde es igual a la media de la muestra, no puedo pensar en otro no trivial e iid caso donde la mediana de la muestra es suficiente.


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¿Querías escribir "que una mediana de muestra podría ser a menudo"?
Juho Kokkala

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Es una pregunta interesante. el doble exponencial tiene la mediana para un estimador ML de su parámetro de ubicación, pero no es suficiente.
Glen_b -Reinstale a Monica el

Respuestas:


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En el caso de que el soporte de la distribución no dependa del parámetro desconocido θ, podemos invocar el teorema de Pitman-Koopman (Fréchet-Darmois-) , a saber, que la densidad de las observaciones es necesariamente de la forma familiar exponencial, para concluir que, dado que la estadística natural suficiente S = n i = 1 T ( x i ) también es lo suficientemente mínima, entonces la mediana debería ser una función de S

exp{θT(x)ψ(θ)}h(x)
S=i=1nT(xi)
S, lo cual es imposible: modificar un extremo en las observaciones , n > 2 , modifica S pero no modifica la mediana.x1,,xnn>2S

f(x|θ)=h(x)IAθ(x)τ(θ)
Aθf
i=1nIAθ(xi)
i=1nIAθ(xi)=IBθn(med(x1:n))
xn+1
IBθn+1(med(x1:n+1))=IBθn(med(x1:n))×IAθ(xn+1)

Bθn

Es el soporte de la mediana.
Xi'an
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