En el caso de que el soporte de la distribución no dependa del parámetro desconocido θ, podemos invocar el teorema de Pitman-Koopman (Fréchet-Darmois-) , a saber, que la densidad de las observaciones es necesariamente de la forma familiar exponencial,
para concluir que, dado que la estadística natural suficiente
S = n ∑ i = 1 T ( x i )
también es lo suficientemente mínima, entonces la mediana debería ser una función de S
exp{θT(x)−ψ(θ)}h(x)
S=∑i=1nT(xi)
S, lo cual es imposible: modificar un extremo en las observaciones
,
n > 2 , modifica
S pero no modifica la mediana.
x1,…,xnn>2S
f(x|θ)=h(x)IAθ(x)τ(θ)
Aθf∏i=1nIAθ(xi)
∏i=1nIAθ(xi)=IBnθ(med(x1:n))
xn+1IBn+1θ(med(x1:n+1))=IBnθ(med(x1:n))×IAθ(xn+1)