¿Para qué problema o juego son las soluciones óptimas de varianza y desviación estándar?

Para una variable aleatoria dada (o una población, o un proceso estocástico), la expectativa matemática es la respuesta a una pregunta ¿Qué pronóstico puntual minimiza la pérdida cuadrada esperada? . Además, es la solución óptima para un juego Adivina la próxima realización de una variable aleatoria (o un nuevo sorteo de una población), y te castigaré por la distancia al cuadrado entre el valor y tu suposición si tienes una desutilidad lineal en términos del castigo La mediana es la respuesta a una pregunta correspondiente bajo pérdida absoluta y el modo es la respuesta bajo pérdida "todo o nada".

Preguntas: ¿La varianza y la desviación estándar responden preguntas similares? ¿Qué son?

La motivación para esta pregunta proviene de la enseñanza de medidas básicas de tendencia central y propagación. Mientras que las medidas de tendencia central pueden estar motivadas por los problemas teóricos de decisión anteriores, me pregunto cómo se podrían motivar las medidas de propagación.

— Richard Hardy
fuente

Pregunta muy interesante Mi enfoque inicial sería que el "juego" es cualitativamente igual a lo que usted ya describe, excepto que la pregunta espera (sin juego de palabras) que la respuesta sea sobre un rango de valores en lugar de un punto, ya que se extiende sin un punto de la referencia es información bastante incompleta (si no tiene sentido).

— Emil

Tenga en cuenta que la varianza es en sí misma una expectativa: si

entonces

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b, tienes razón, y lo entendí (debería haberlo incluido en el texto de la pregunta). "Adivina la diferencia entre el próximo valor y la expectativa y te castigaré cuadráticamente" sería el juego. ¿Es eso lo mejor que hay? No parece un juego muy práctico o muy divertido, en mi humilde opinión.

— Richard Hardy

Si he entendido la pregunta según lo previsto, tiene en mente una configuración en la que puede obtener realizaciones independientes de cualquier variable aleatoria $X$ con cualquier distribución $F$ (que tiene una varianza finita $\sigma^2(F)$ ). El "juego" está determinado por las funciones $h$ y $\mathcal L$ que se describirán. Consiste en los siguientes pasos y reglas:

Su oponente ( "Naturaleza") revela $F.$
En respuesta, produce un número $t(F),$ su "predicción".

Para evaluar el resultado del juego, se realizan los siguientes cálculos:

Una muestra de $n$ IID observaciones $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ se extrae de $F.$
Se aplica una función predeterminada $h$ a la muestra, produciendo un número $h(\mathbf{X}),$ el "estadístico".
La "función de pérdida" $\mathcal{L}$ compara su "predicción" $t(F)$ con la estadística $h(\mathbf{X}),$ produciendo un número no negativo $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
El resultado del juego es la pérdida esperada (o "riesgo")
$R_{(L, h)} (t, F) = mi (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Su objetivo es responder al movimiento de la Naturaleza especificando algunas $t$ que minimicen el riesgo.

Por ejemplo, en el juego con la función $h(X_1)=X_1$ y cualquier pérdida de la forma $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ para algún número positivo $\lambda,$ su movimiento óptimo es elegir $t(F)$ para ser la expectativa de $F.$

La pregunta que tenemos ante nosotros es:

¿Existen $\mathcal{L}$ y $h$ para las cuales el movimiento óptimo es elegir $t(F)$ para que sea la varianza $\sigma^2(F)$ ?

Esto se responde fácilmente exhibiendo la varianza como una expectativa. Una forma es estipular que

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$ y continúe usando la pérdida cuadrática

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$ Al observar eso

mi (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

El ejemplo nos permite concluir que este $h$ y este $\mathcal L$ responden la pregunta sobre la varianza.

$\sigma(F)$ $F$ $(p)$ $p,$ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ $p\in (0,1).$ $1/p$ $h$ $X_i.$

— whuber
fuente

h

$h$

n

$n$

2

$2$

n

$n$

¡Muchas gracias!

— Richard Hardy