¿Cómo es la familia de distribuciones con PDF proporcional a

Considere una familia de distribuciones con PDF (hasta una constante de proporcionalidad) dada por ¿Como se llama? Si no tiene un nombre, ¿cómo lo llamarías?

pags (X) \sim \frac{1}{(1 + α X^{2})^{1 / / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$

Se parece bastante a la familia de distribuciones con PDF proporcional a $t$

pags (X) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} X^{2})^{(ν + 1) / / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

Cuando tenemos distribución con 1 df, también conocida como distribución de Cauchy. Cuando o , obtenemos distribución gaussiana. $\alpha=\nu=1$ $t$ $\alpha\to 0$ $\nu\to\infty$

Esta familia de distribuciones aparece en Yang et al., Heavy-Tailed Symmetric Stochastic Neighbour Embedded, NIPS 2009 , pero no usan ningún nombre para referirse a ella.

— ameba
fuente

mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Yo diría que es una forma de distribución t escalada estableciendo los valores correspondientes en v y escalar.

— Cagdas Ozgenc

Gracias @CagdasOzgenc (+1). Tienes razón. Glen_b explicó esto en una respuesta.

— ameba

En caso de que no lo mgcv::gamsepa , permite la especificación de una T escalada como respuesta cuando se usa gam( family= "scat", ... ).

— usεr11852

Es simplemente una escala particular $t$ -distribución - a $t$ -distribución con una variación diferente al estándar $t$ -distribución.

Dejar $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ . Dejar $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$ .

Entonces (si lo hice bien) $Y=X/\sigma$ es un estándar $t$ con $\nu$ df

Así es como fue mi razonamiento:

F_{Y} (y) = C \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$ es un estándar

t

$t$ -densidad.

Obtenemos la familia de escamas dejando $X/\sigma=Y$ , en ese caso

F_{X} (X) = \frac{1}{σ} F_{Y} (\frac{X}{σ}) = \frac{C}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{X^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$ es un escalado

t

$t$ -densidad.

Simplemente equipare los coeficientes en su densidad a esto, y resuelva para $\nu$ y $\sigma$ .

Reconociendo que un parámetro de escala ocupará lo que no sea "correcto" en $\alpha x^2$ (Dado que $\nu$ ya está definido por poderes equivalentes) fue todo lo que se necesitaba para ver que se escala $t$ ; el álgebra no se requería hasta que llegó el momento de encontrar los parámetros de la $t$ .

[Nota final: en caso de que no sea obvio que una familia de escamas tiene la forma $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ , toma la declaración de probabilidad $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ (señalando que el evento $X/\sigma\leq t$ es idéntico al evento $Y\leq t$ ) y diferenciar.]

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

Es interesante notar que esta conversión se rompe cuando

α \geq 2

$\alpha\ge 2$ . Supongo que es porque el PDF escalado divergerá cuando se integre sobre la línea real, ¿verdad?

— ameba

Si. Por ejemplo en

α = 2

$\alpha=2$ tienes algo que se acerca

k / | x |

$k/|x|$ en las colas, y así ambas mitades de la integral divergen. Bueno, ese argumento es un poco flojo, pero puedes apretarlo con bastante facilidad.

— Glen_b -Reinstate Monica

@amoeba Tenga en cuenta que

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$ . Utilizo esta distribución con frecuencia para estimar la volatilidad en series de tiempo financieras.

— Cagdas Ozgenc