K éxitos en ensayos de Bernoulli, o experimento de película de George Lucas

Estoy leyendo "The Drunkard's Walk" ahora y no puedo entender una historia de ella.

Aquí va:

Imagine que George Lucas hace una nueva película de Star Wars y en una prueba de mercado decide realizar un experimento loco. Lanza la película idéntica bajo dos títulos: "Star Wars: Episodio A" y "Star Wars: Episodio B". Cada película tiene su propia campaña de marketing y calendario de distribución, con los detalles correspondientes idénticos, excepto que los trailers y anuncios de una película dicen "Episodio A" y los de la otra, "Episodio B".

Ahora hacemos un concurso de eso. ¿Qué película será más popular? Digamos que miramos a los primeros 20,000 espectadores y grabamos la película que eligen ver (ignorando a esos fanáticos acérrimos que irán a ambos y luego insistirán en que hubo diferencias sutiles pero significativas entre los dos). Dado que las películas y sus campañas de marketing son idénticas, podemos modelar matemáticamente el juego de esta manera: imagina alinear a todos los espectadores seguidos y lanzar una moneda por turno. Si la moneda cae cara arriba, él o ella ve el Episodio A; si la moneda cae hacia arriba, es el Episodio B. Debido a que la moneda tiene la misma probabilidad de aparecer de cualquier manera, podrías pensar que en esta guerra de taquilla experimental cada película debería estar a la cabeza la mitad del tiempo.

Pero la matemática de la aleatoriedad dice lo contrario: el número más probable de cambios en el plomo es 0, y es 88 veces más probable que una de las dos películas conduzca a todos los 20,000 clientes que es, digamos, el plomo sube y baja continuamente "

Probablemente, incorrectamente, atribuyo esto a un simple problema de pruebas de Bernoulli, y debo decir que no veo por qué el líder no sube y baja en promedio. ¿Alguien puede explicar?

Aquí hay un código R para simular el experimento de George Lucas:

B<-20000
steps<-2*rbinom(B,1,0.5)-1
rw<-cumsum(steps)
ts.plot(rw,xlab="Number of customers",ylab="Difference")

Al ejecutarlo, obtenemos imágenes como estas:

donde la diferencia en boletos vendidos entre A y B está en el eje y.

A continuación, ejecutamos estos experimentos simulados de George Lucas. Para cada experimento, calculamos la proporción de tiempo invertido ≥ 0 , es decir, la proporción de los espectadores alineados para los cuales el número de boletos vendidos a A es mayor o igual al número de boletos vendidos a B. Intuitivamente, usted decir que esta proporción debe ser aproximadamente 1 / 2 . Aquí hay un histograma de los resultados:$10,000$$\geq 0$$1/2$

La proporción es , en promedio, en el sentido de que el valor esperado es 1 / 2 , pero 1 / 2 es un valor poco probable en comparación con valores próximos a 0 o 1 . ¡Para la mayoría de los experimentos, las diferencias son positivas o negativas la mayor parte del tiempo!$1/2$$1/2$$1/2$$0$$1$

La curva roja es la función de densidad de la distribución arcoseno, también conocido como el de distribución$\mbox{Beta}(1/2,1/2)$ . Lo que se ilustra en la imagen de arriba es un teorema conocido como la primera ley de arscina para caminatas aleatorias , que dice que a medida que el número de pasos de la caminata aleatoria simétrica simple se aproxima al infinito, la distribución de la proporción de tiempo dedicado por encima de tiende a Distribución de arcoseno. Una referencia estándar para este resultado es la Sección III.4 de Una introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Vol. 1 de William Feller.$0$

El código R para el estudio de simulación es

prop<-vector(length=10000)
for(i in 1:10000)
{
    steps<-2*rbinom(B,1,0.5)-1
    rw<-cumsum(steps)
    prop[i]<-sum(rw>=0)/B
}
hist(prop,freq=FALSE,xlab="Proportion of time spent above 0",main="George Lucas experiment")
curve(dbeta(x,1/2,1/2),0,1,col=2,add=TRUE)

$1/2$$t$$t=1$$3/4$$t=3$$t$

$1$$1$

$20,000$

Si desea calcular algunas de las probabilidades, tiene que contar algo similar a los enrejados que no cruzan la diagonal. Existe un gran método combinatorio que se aplica a las caminatas aleatorias (y al movimiento browniano) que no cruza esa línea, llamado principio de reflexión o método de reflexión . Este es un método para determinar los números catalanes . Aquí hay otras dos aplicaciones:

$A$$10,200-9,800$$20,000 \choose 9,800$$(10,200, 9,800)$$B$$B$$B$$(9,799, 10,201)$$(10,200, 9,800)$$B$${20,000 \choose 9,800} - {20,000 \choose 10,201} = {20,000 \choose 9,800} - {20,000 \choose 9,799} = {20,000 \choose 9,800} \frac{401}{10,201}.$$B$$(10,200, 9,800),$$96\%$

$A$${20,000 \choose 10,000} \approx 2^{20,000}/\sqrt{10,000 \pi}.$$A$$\frac{1}{100 \sqrt{\pi}}$$\frac{1}{50 \sqrt{\pi}} \approx 1/89.$$56$

"Es 88 veces más probable que una de las dos películas llegue a todos los 20,000 clientes que, digamos, el plomo sube y baja continuamente"

En inglés simple: una de las películas tiene una ventaja temprana. Tiene que hacerlo, ya que el primer cliente tiene que ir a A o B. Esa película es tan probable que mantenga su liderazgo como lo pierda.

Suena 88 veces más probable , bueno, poco probable, hasta que recuerdes que la oscilación perfecta es muy improbable. El cuadro en la respuesta de MansT , que muestra esto gráficamente, es fascinante, ¿no?

Aparte: Personalmente, creo que será más de 88 veces, debido al <buzzword-alert>marketing viral </buzzword-alert>. Cada persona preguntará a otras personas qué vieron y es más probable que visiten la misma película. Incluso lo harán inconscientemente: es más probable que las personas se unan a una larga cola para ir a ver algo. Es decir, tan pronto como la aleatoriedad entre los primeros clientes haya creado un líder, la psicología humana lo mantendrá como líder :-).