Distribución normal

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Hay un problema de estadísticas que desafortunadamente no tengo idea de por dónde empezar (estoy estudiando solo, así que no puedo preguntar a nadie si no entiendo algo).

La pregunta es

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— Ang
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Como se trata de datos normales de IID, vale la pena generalizar un poco su problema para ver el caso en el que tiene y desea . (Su pregunta corresponde al caso donde ) Como otros usuarios han señalado, la suma de los cuadrados de las variables aleatorias normales de IID es una variable aleatoria chi-cuadrado no central escalada , por lo que se puede obtener la varianza de interés. del conocimiento de esa distribución. Sin embargo, también es posible obtener la varianza requerida utilizando reglas de momento ordinarias, combinadas con el conocimiento de los momentos de la distribución normal . Le mostraré cómo hacer esto a continuación, en pasos. $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ $n=2$

Encontrar la varianza usando momentos de la distribución normal: dado que los valores son IID (y tomando como un valor genérico de esta distribución) tiene: donde estamos denotando los momentos crudos como . Estos momentos sin procesar se pueden escribir en términos de los momentos centrales y la media usando $X_1, ..., X_n$ $X$
$\begin{aligned} Q_{norte} \equiv V (\sum_{yo = 1}^{norte} X_{yo}^{2}) & = \sum_{yo = 1}^{norte} V (X_{yo}^{2}) \\ = norte V (X^{2}) \\ = norte (mi (X^{4 4}) - mi (X^{2})^{2}) \\ = norte (μ_{4 4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ fórmulas de conversión estándar , y luego podemos buscar los momentos centrales de la distribución normal y sustituirlos.

Usando las fórmulas de conversión de momento, debería obtener: Para la distribución tenemos medios momentos centrales de orden superior , y . Esto nos da los momentos crudos:
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4 4}^{'} & = μ_{4 4} + 4 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = {si}^{2} + {una}^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 una {si}^{2} + {una}^{3}, \\ μ_{4 4}^{'} & = 3 {si}^{4 4} + 6 6 {una}^{2} {si}^{2} + {una}^{4 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ Ahora, intente sustituirlos nuevamente en la expresión original para encontrar la varianza de interés.

La sustitución de nuevo en la primera expresión da: Para el caso especial donde tienes . Se puede demostrar que este resultado concuerda con la solución que obtendría si utilizara el método alternativo para derivar su resultado de la distribución de chi-cuadrado no central escalado.
$\begin{aligned} Q_{norte} & = norte (μ_{4 4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = norte [(3 {si}^{4 4} + 6 6 {una}^{2} {si}^{2} + {una}^{4 4}) - ({si}^{2} + {una}^{2})^{2}] \\ = norte [(3 {si}^{4 4} + 6 6 {una}^{2} {si}^{2} + {una}^{4 4}) - ({si}^{4 4} + 2 {una}^{2} {si}^{2} + {una}^{4 4})] \\ = norte [2 {si}^{4 4} + 4 4 {una}^{2} {si}^{2}] \\ = 2 norte {si}^{2} ({si}^{2} + 2 {una}^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

Trabajo alternativo basado en el uso de la distribución chi-cuadrado no central: desde tenemos:Usando la varianza conocida de esta distribución tenemos: Este resultado coincide con el resultado anterior. $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{yo = 1}^{norte} (\frac{X_{yo}}{si})^{2} \sim Chi-Sq no central (k = norte, λ = \frac{norte {una}^{2}}{{si}^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{norte} \equiv V (\sum_{yo = 1}^{norte} X_{yo}^{2}) & = {si}^{4 4} \cdot V (\sum_{yo = 1}^{norte} (\frac{X_{yo}}{si})^{2}) \\ = {si}^{4 4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 {si}^{4 4} (norte + 2 \frac{norte {una}^{2}}{{si}^{2}}) \\ = 2 norte {si}^{2} ({si}^{2} + 2 {una}^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben - Restablece a Monica
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Las etiquetas de spoiler son innecesarias y distraen.

— Alexis

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Si e son variables aleatorias independientes, entonces es una variable aleatoria . $X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

¿Crees que puedes tomarlo desde allí?

— SOULed_Outt
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La respuesta está en la distribución Chi-cuadrado no central .

Por ejemplo, si b = 1, la respuesta a su pregunta es: , donde es el número de componentes ( e ). $2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
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