"Dado que


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Pregunta corta: ¿Por qué es esto cierto?

Larga pregunta:

Muy simple, estoy tratando de descubrir qué justifica esta primera ecuación. El autor del libro que estoy leyendo (contexto aquí si lo desea, pero no es necesario), afirma lo siguiente:

Debido a la suposición de casi gaussianismo, podemos escribir:

p0(ξ)=Aϕ(ξ)exp(an+1ξ+(an+2+12)ξ2+i=1naiGi(ξ))

Donde es el PDF de sus datos observados que tiene la máxima entropía, dado que solo había observado una serie de expectativas, (números simples) , donde , y es el PDF de una variable gaussiana estandarizada, es decir, media 0 y varianza unitaria.c i , i = 1 . . . n c i = E { G i ( ξ ) } ϕ ( ξ )p0(ξ)ci,i=1...nci=E{Gi(ξ)}ϕ(ξ)

A donde va todo esto es que usa la ecuación anterior como punto de partida para simplificar el PDF, , y entiendo cómo lo hace, pero no entiendo cómo justifica la ecuación anterior, es decir, el punto de partida.p0(ξ)

He tratado de mantenerlo breve para no ofuscar a nadie, pero si desea detalles adicionales, hágamelo saber en los comentarios. ¡Gracias!

Respuestas:


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(Nota: he cambiado tu a x .)ξx

Para una variable aleatoria con densidad p , si tiene restricciones G i ( x )Xp para i = 1 , , n , la densidad de entropía máxima es p 0 ( x ) = A exp ( n i = 1 a i G i ( x ) )

Gi(x)p(x)dx=ci,
i=1,,n donde los a i se determinan a partir de los c i , y A es una constante de normalización.
p0(x)=Aexp(i=1naiGi(x)),
aiciA

En este contexto, la aproximación gaussiana ("casi gaussianidad") significa dos cosas:

1) Aceptas introducir dos nuevas restricciones: la media de es 0 y la varianza es 1 (por ejemplo);X01

2) El correspondiente (ver más abajo) es mucho más grande que el otro a i 's.an+2ai

Estas restricciones adicionales se representan como

Gn+1(x)=x,cn+1=0,
Gn+2(x)=x2,cn+2=1,
p0(x)=Aexp(an+2x2+an+1x+i=1naiGi(x)),
p0(x)=Aexp(x22x22+an+2x2+an+1x+i=1naiGi(x)),
p0(x)=Aϕ(x)exp(an+1x+(an+2+12)x2+i=1naiGi(x));

exp(t)1+t

p0(x)Aϕ(x)(1+an+1x+(an+2+12)x2+i=1naiGi(x)).
Aai
p0(x)dx=1,xp0(x)dx=0,x2p0(x)dx=1
Gi(x)p0(x)dx=ci,i=1,,n,
Aai

Gi

Gi


μ=0σ2=1

p0(x)p0(x)

p0(x)

p0(z)ϕ(z)(1+i=1NciFi(z))

an+1x
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