Teorema: no hay distribución para la cual cuando .DistA−B∼U(−1,1)A,B∼IID Dist
Prueba: Considere dos variables aleatorias con función característica común . Denotando su diferencia por . La función característica de la diferencia es:A,B∼IID DistφD=A−B
φD(t)=E(exp(itD))=E(exp(it(A−B)))=E(exp(itA))E(exp(−itB))=φ(t)φ(−t)=φ(t)φ(t)¯¯¯¯¯¯¯¯¯=|φ(t)|2.
(La cuarta línea de este trabajo se deriva del hecho de que la función característica es hermitiana ). Ahora, tomar da una forma específica para , que es:D∼U(−1,1)φD
φD(t)=E(exp(itD))=∫Rexp(itr)fD(r)dr=12∫−11exp(itr)dr=12[exp(itr)it]r=1r=−1=12exp(it)−exp(−it)it=12(cos(t)+isin(t))−(cos(−t)+isin(−t))it=12(cos(t)+isin(t))−(cos(t)−isin(t))it=122isin(t)it=sin(t)t=sinc(t).
donde este último es la función sinc (no normalizada) . Por lo tanto, para cumplir con los requisitos de , requerimos una función característica con la norma al cuadrado dada por:Distφ
|φ(t)|2=φD(t)=sinc(t).
El lado izquierdo de esta ecuación es una norma al cuadrado y, por lo tanto, no es negativa, mientras que el lado derecho es una función que es negativa en varios lugares. Por lo tanto, no hay solución para esta ecuación, por lo que no existe una función característica que satisfaga los requisitos para la distribución. (Sugerencias para Fabian por señalar esto en una pregunta relacionada sobre Matemáticas . SE .) Por lo tanto, no hay distribución con los requisitos del teorema. ■