"Teorema del límite central" para la suma ponderada de variables aleatorias correlacionadas

Estoy leyendo un artículo que dice que

{\hat{X}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{j = 0 0}^{norte - 1} X_{j} {mi}^{- yo 2 π k j / / norte},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$ (es decir, la Transformada discreta de Fourier , DFT) por el CLT tiende a una variable aleatoria gaussiana (compleja). Sin embargo, sé que esto no es cierto en general. Después de leer este argumento (falaz), busqué en la red y encontré este artículo de 2010 de Peligrad & Wu , donde demuestran que para algunos procesos estacionarios, uno puede encontrar un "teorema de CLT".

Mi pregunta es: ¿tiene alguna otra referencia que trate de abordar el problema de encontrar la distribución limitante de la DFT de una secuencia indexada dada (tanto por simulación como por teoría)? Estoy particularmente interesado en la tasa de convergencia (es decir, qué tan rápido converge el DFT) dada alguna estructura de covarianza para en el contexto del análisis de series de tiempo, o derivaciones / aplicaciones a series no estacionarias. $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Néstor
fuente

$_j$ $_j$ $_j$

— Michael R. Chernick
fuente

¿Cuáles son esas condiciones? ¿Y cómo difiere su teorema del artículo que cito?

— Néstor

Probablemente sea muy similar al resultado en el documento que cita. Lo busqué porque sonaba como un resultado que aprendí en mis días de posgrado. No voy a recitar los supuestos. Implica una restricción en la función de autocorrelación para Xj y los λjs no suman en pares a múltiplos de 2π.

— Michael R. Chernick