¿Por qué nos importa si un proceso de MA es invertible?

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Tengo problemas para entender por qué nos importa si un proceso de MA es invertible o no.

Corríjame si me equivoco, pero puedo entender por qué nos importa si un proceso AR es causal o no, es decir, si podemos "reescribirlo", por así decirlo, como la suma de algún parámetro y ruido blanco. es decir, un proceso de media móvil. Si es así, podemos ver fácilmente que el proceso AR es causal.

Sin embargo, tengo problemas para entender por qué nos importa si podemos o no representar un proceso de MA como un proceso de AR al demostrar que es invertible. Realmente no entiendo por qué nos importa.

Cualquier idea sería genial.

— agra94
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1

casual

causal

\to

$\rightarrow$

— Richard Hardy

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La invertibilidad no es realmente un gran problema porque casi cualquier modelo gaussiano de MA $(q)$ no invertible puede cambiarse a un modelo MA $(q)$ invertible que represente el mismo proceso cambiando los valores de los parámetros. Esto se menciona en la mayoría de los libros de texto para el modelo MA (1) pero es cierto de manera más general.

Como ejemplo, considere el modelo MA (2)

\begin{matrix} (1) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 2 B) w_{t}, \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$ donde

w_{t}

$w_t$ es ruido blanco con varianza

σ_{w}^{2}

$\sigma_w^2$ . Este no es un modelo invertible porque

θ (B)

$\theta(B)$ tiene una raíz igual a 0.5 dentro del círculo unitario. Sin embargo, considere el modelo alternativo MA (2) obtenido al cambiar esta raíz a su valor recíproco de 2 de tal manera que el modelo tome la forma

\begin{matrix} (2) & z_{t} = (1 - 0.2 B) (1 - 0.5 B) w_{t}^{'} \end{matrix}

$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$ donde

w_{t}^{'}

$w_t'$ tiene varianza

σ_{w}^{' 2} = 4 σ_{w}^{2}

$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Puede verificar fácilmente que los modelos (1) y (2) tienen las mismas funciones de autocovarianza y, por lo tanto, especificar la misma distribución para los datos si el proceso es gaussiano.

$\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ $(\infty)$ $\pi_1,\pi_2,\dots$ $\theta(B)\pi_i=0$

$(q)$ $2^q$ $q$

Siempre puede mover raíces desde adentro hacia afuera del círculo unitario con un cambio correspondiente en la variación del ruido blanco usando la técnica anterior, excepto en los casos en que el polinomio MA tiene una o más raíces exactamente en el círculo unitario.

— Jarle Tufto
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¡Muy interesante!

— Richard Hardy

Sí, no sé por qué esto no se afirma más claramente en los libros de texto. Puede ver este "truco" utilizado por la función maInvertdentro de la arimafunción de R para garantizar que las estimaciones de los parámetros correspondan a un modelo invertible.

— Jarle Tufto

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$X_t$

X_{t} = θ (si) Z_{t}

$X_t = \theta(B)Z_t$

ξ (si) X_{t} = Z_{t}

$\xi(B)X_t = Z_t$

ξ (B)

$\xi(B)$

Además, a juzgar por el título en la referencia en el primer enlace, esos autores tienen mucho más que decir sobre este asunto. Lamentablemente, no puedo encontrar una copia de ese libro / documento en Internet. Si alguien puede encontrar eso, hágamelo saber.

— Taylor
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