¿Es la teoría de la probabilidad el estudio de funciones no negativas que se integran / suman a una?

Esta es probablemente una pregunta tonta, pero ¿es la teoría de la probabilidad el estudio de funciones que integran / suman una?

EDITAR. Olvidé la no negatividad. Entonces, ¿es la teoría de la probabilidad el estudio de funciones no negativas que se integran / suman a una?

A un nivel puramente formal, uno podría llamar a la teoría de probabilidad el estudio de espacios de medida con la medida total uno, pero eso sería como llamar a la teoría de números el estudio de cadenas de dígitos que terminan

- de los Temas de Terry Tao en teoría de matrices aleatorias .

Creo que esto es lo realmente fundamental. Si tenemos un espacio de probabilidad y una variable aleatoria con medida de , entonces la razón una densidad integra a uno porque . Y eso es más fundamental que pdfs vs pmfs.$(\Omega, \mathscr F, P)$$X : \Omega \to \mathbb R$$P_X := P \circ X^{-1}$$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$

Aquí está la prueba:

Esto es casi una reformulación de la respuesta de AdamO (+1) porque todos los CDF son càdlàg, y hay una relación uno a uno entre el conjunto de CDF en y el conjunto de todas las medidas de probabilidad en , pero como el CDF de un RV se define en términos de su distribución, veo los espacios de probabilidad como el lugar para "comenzar" con este tipo de esfuerzo.$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Estoy actualizando para elaborar la correspondencia entre los CDF y las medidas de probabilidad y cómo ambas son respuestas razonables para esta pregunta.

Comenzamos comenzando con dos medidas de probabilidad y analizando los CDF correspondientes. Concluimos comenzando con un CDF y observando la medida inducida por él.

Deje que y sean medidas de probabilidad en y dejar que y sean sus respectivos CDF (es decir y lo mismo para ) y representarían medidas de variables aleatorias (es decir, distribuciones), pero en realidad no importa de dónde vinieron para esto.$Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

La idea clave es esta: si y están de acuerdo en una colección de conjuntos lo suficientemente rica, entonces están de acuerdo con el álgebra generada por esos conjuntos. Intuitivamente, si tenemos una buena colección de eventos que, a través de una cantidad contable de complementos, intersecciones y uniones forman todo , entonces estar de acuerdo en todos esos conjuntos no deja margen de maniobra para estar en desacuerdo con cualquier Borel conjunto.$Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$

Formalicemos eso. Deje y deje , es decir, es el subconjunto de en el que y están de acuerdo (y están definidos). Tenga en cuenta que les estamos permitiendo acordar conjuntos no Borel ya que tal como está 't necesariamente un subconjunto de . Nuestro objetivo es mostrar que .$\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$P ( R ) Q R L B B ⊆ $\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$$\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$

Resulta que (el álgebra generado por ) es de hecho , por lo que esperamos que sea ​​una colección suficientemente grande de eventos que si todas partes en entonces están obligados a ser igual en todos .σ S B S Q = R S $\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$

Tenga en cuenta que está cerrado bajo intersecciones finitas, y que está cerrado bajo complementos e intersecciones contables disjuntas (esto se deduce de -adititivity). Esto significa que es un -system y es un -system . Por el - teorema que, por tanto, tenemos que . Los elementos deL σ S π L λ π λ σ ( S ) = B ⊆ L S S Q R S B ∈ $\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$no son tan complejas como un conjunto de Borel arbitrario, sino porque cualquier conjunto de Borel puede formarse a partir de un número contable de complementos, uniones e intersecciones de elementos de , si no hay un único desacuerdo entre y en elementos de , entonces este será seguido a través de a que no hay desacuerdos en cualquier .$\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$

Acabamos de demostrar que si entonces (en ), lo que significa que el mapa de a es una inyección. Q = R B Q ↦ F Q P : = { P : P  es una medida de probabilidad en  ( R , B ) } F : = { F : R → R : F  es un CDF $F_Q = F_R$$Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

Ahora, si queremos pensar en ir en la otra dirección, queremos comenzar con un FCD y mostrar que hay una medida de probabilidad única tal que . esto establecerá que nuestro mapeo es de hecho una biyección. Por esta dirección, definimos sin ninguna referencia a la probabilidad o medidas.Q F ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) Q ↦ F Q$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

Primero definimos una función de medida Stieltjes como una función tal que$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. $G$ no es decreciente
2. $G$ es derecho-continuo

(y observe cómo ser càdlàg se deduce de esta definición, pero debido a la restricción adicional no decreciente, "la mayoría" de las funciones càdlàg no son funciones de medida de Stieltjes).

Se puede demostrar que cada función Stieltjes induce una medida única on definida por (ver, por ejemplo, la probabilidad de Durrett y los procesos aleatorios para más detalles sobre esto.) Por ejemplo, la medida de Lebesgue es inducida por .μ ( R , B ) μ ( ( a , b ] ) = G ( b ) - G ( a ) G ( x ) = $G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Ahora observando que un CDF es una función Stieltjes con las propiedades adicionales que y , podemos aplicar ese resultado para mostrar que para cada CDF obtenemos una medida única en definida por $F$$\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Observe cómo y entonces es una medida de probabilidad y es exactamente la que habríamos utilizado para definir si hubiéramos ido en la otra dirección.$Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$

Todos juntos hemos visto ahora que la asignación de es 1-1 y en lo que realmente tienen una biyección entre y . Volviendo a la pregunta real, esto muestra que podríamos sostener de manera equivalente CDF o medidas de probabilidad como nuestro objeto del cual declaramos que la probabilidad es el estudio (al tiempo que reconocemos que este es un esfuerzo algo gracioso). Yo personalmente prefiero los espacios de probabilidad porque siento que la teoría fluye más naturalmente en esa dirección, pero los CDF no están "equivocados".$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P$$\mathcal F$

No; la distribución de Cantor es solo un contraejemplo. Es una variable aleatoria, pero no tiene densidad. Tiene una función de distribución, sin embargo. Diría, por lo tanto, que la teoría de la probabilidad es el estudio de las funciones de càdlàg , incluido el Cantor DF, que tienen límites izquierdos de 0 y límites derechos de 1.

Estoy seguro de que obtendrá buenas respuestas, pero aquí le daremos una perspectiva ligeramente diferente.

Es posible que haya escuchado a matemáticos decir que la física es prácticamente matemática, o simplemente una aplicación de las matemáticas a las leyes más básicas de la naturaleza. Algunos matemáticos (¿muchos?) Realmente creen que este es el caso. Lo he escuchado una y otra vez en la universidad. A este respecto, hace una pregunta similar, aunque no tan amplia como esta.

El físico generalmente no se molesta incluso en responder a esta afirmación: es demasiado obvio para ellos que no es cierto. Sin embargo, si intentas responder, queda claro que la respuesta no es tan trivial, si quieres que sea convincente.

Mi respuesta es que la física no es solo un conjunto de modelos, ecuaciones y teorías. Es un campo con su propio conjunto de enfoques, herramientas, heurísticas y formas de pensar. Esa es una de las razones por las cuales, aunque Poincare desarrolló la teoría de la relatividad antes de Einstein, no se dio cuenta de todas las implicaciones y no buscó que todos se unieran. Einstein sí, porque era físico y entendió lo que significaba de inmediato. No soy fanático del tipo, pero su trabajo sobre el movimiento browniano es otro ejemplo de cómo un físico construye un modelo matemático. Ese documento es asombroso y está lleno de intuición y rastros de pensamiento que son inequívocamente físicos.

Entonces, mi respuesta para usted es que incluso si fuera el caso de que la probabilidad se ocupara del tipo de funciones que describió, aún no habría sido el estudio de esas funciones. Tampoco es una teoría de la medida aplicada a alguna subclase de medidas. La teoría de la probabilidad es el campo distintivo que estudia las probabilidades, está vinculada a un mundo natural a través de la desintegración radiactiva y la mecánica cuántica y los gases, etc. propiedades también, pero mientras lo hacemos, vigilaremos el premio principal: las probabilidades.

Bueno, parcialmente cierto, carece de una segunda condición. Las probabilidades negativas no tienen sentido. Por lo tanto, estas funciones deben cumplir dos condiciones:

• Distribuciones continuas:

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• Distribuciones discretas:

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

Donde es el dominio donde se define la distribución de probabilidad.$\mathcal{D}$

Yo diría que no, eso no es fundamentalmente la teoría de la probabilidad, pero lo diría por diferentes razones que las otras respuestas.

Básicamente, diría que la teoría de la probabilidad es el estudio de dos cosas:

1. Procesos estocásticos, y

2. Inferencia bayesiana.

Los procesos estocásticos incluyen cosas como lanzar dados, sacar bolas de urnas, etc., así como los modelos más sofisticados que se encuentran en física y matemáticas. La inferencia bayesiana es razonar bajo incertidumbre, usando probabilidades para representar el valor de cantidades desconocidas.

Estas dos cosas están más estrechamente relacionadas de lo que parecen a primera vista. Una razón por la que podemos estudiarlos bajo el mismo paraguas es que los aspectos importantes de ambos pueden representarse como funciones no negativas que se suman / integran en uno. Pero la probabilidad no es solo el estudio de esas funciones: su interpretación en términos de procesos aleatorios e inferencia también es una parte importante de la misma.

Por ejemplo, la teoría de la probabilidad incluye conceptos como las probabilidades condicionales y las variables aleatorias, y cantidades como la entropía, la información mutua y la expectativa y la varianza de las variables aleatorias. Si bien uno podría definir estas cosas puramente en términos de funciones no negativas normalizadas, la motivación para esto parecería bastante extraña sin la interpretación en términos de procesos aleatorios e inferencia.

Además, a veces uno encuentra conceptos en la teoría de la probabilidad, particularmente en el lado de la inferencia, que no pueden expresarse en términos de una función no negativa que normaliza a uno. Los llamados "antecedentes impropios" vienen a mi mente aquí, y AdamO dio la distribución de Cantor como otro ejemplo.

Ciertamente, hay algunas áreas de la teoría de la probabilidad en las que el interés principal está en las propiedades matemáticas de las funciones no negativas normalizadas, para las cuales los dos dominios de aplicación que mencioné no son importantes. Cuando este es el caso, a menudo lo llamamos teoría de la medida en lugar de teoría de la probabilidad. Pero la teoría de la probabilidad también es, de hecho, diría principalmente, un campo aplicado, y las aplicaciones de las distribuciones de probabilidad son en sí mismas un componente no trivial del campo.