Si

Estoy tratando de probar la afirmación:

Si e son variables aleatorias independientes, $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

entonces también es una variable aleatoria normal. $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Para el caso especial (digamos), tenemos el resultado bien conocido de que $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ siempre queeseanvariablesindependientes. De hecho, se sabe más generalmente que $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ son independientes $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ variables. $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$

Una prueba de la última resultado se sigue mediante el uso de la transformación donde y $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ . De hecho, aquí $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ y $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ . Traté de imitar esta prueba para el problema en cuestión, pero parece estar desordenado. $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Si no he cometido ningún error, entonces para termino con la densidad conjunta de como $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

Tengo el multiplicador anterior ya que la transformación no es uno a uno. $2$

Entonces la densidad de estaría dada por $U$ , que no se evalúa fácilmente. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Ahora estoy interesado en saber si hay una prueba de que solo puedo trabajar con y no tengo que considerar alguna para mostrar que es Normal. Encontrar el CDF de no me parece tan prometedor en este momento. También me gustaría hacer lo mismo para el caso . $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Es decir, si e son variables independientes entonces deseo mostrar que $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ sin usar un cambio de variables. Si de alguna manera puedo argumentar que, entonces he terminado. Aquí hay dos preguntas, el caso general y luego el caso particular. $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

Publicaciones relacionadas en Math.SE:

cuandoindependientemente $X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ $X,Y\sim N(0,1)$ .

Dado que son iid , demuestre que $X,Y$ $N(0,1)$ son iid $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ .

Editar.

De hecho, este problema se debe a L. Shepp, como descubrí en los ejercicios de Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones (Vol. II) de Feller, junto con una posible pista:

Seguramente, y tengo la densidad de $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ a mano. $\frac{1}{X^2}$

Veamos qué puedo hacer ahora. Aparte de esto, una pequeña ayuda con la integral anterior también es bienvenida.

— ObstinadoAtom
fuente

Si bien es similar, el enfoque MGF para la articulación

es un poco más fácil. Vea la última respuesta de: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 y: math.stackexchange.com/questions/2664469/…

(U, V)

$(U,V)$

— Alex R.

@AlexR. Sí, había visto el enfoque de mgf conjunta, que funciona bastante bien si voy a encontrar la distribución conjunta para el caso de varianza igual. Pero ya tengo la prueba por cambio de variables en ese caso, que en mi opinión es más fácil. Lo que intento hacer es trabajar solo con

, ya que esa es la distribución que busco.

U

$U$

— StubbornAtom

El truco es que la suma de

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

, que son distribuciones de chi-cuadrado inversas a escala, también es una distribución de chi-cuadrado inversa a escala (que es la propiedad de las distribuciones estables). Entonces la magia ocurre en la tercera ecuación de lo siguiente:

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sextus Empiricus

@MartijnWeterings Aparentemente esa es la prueba original dada por Shepp.

— StubbornAtom

Yo no habría inventado esto si no hubieras mencionado el comentario de Shepp. Pero, tuve la idea de que no obtuviste esta prueba. O al menos esto no estaba claro si este era el caso.

— Sextus Empiricus

Respuestas:

La solución original del problema de Shepp utiliza el concepto de propiedad de ley estable, que me parece un poco avanzado en este momento. Así que no pude comprender la pista dada en el ejercicio que cité en mi publicación. Supongo que una prueba que involucra solo la variable única $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

$V$ $U$

$\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

$(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

$W=U^2$ $\frac{1}{2}$ $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— ObstinadoAtom
fuente

de acuerdo a esto

Transformando dos variables aleatorias normales

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$
$X$ $Y$ $\Leftrightarrow$ $\theta$ $r$

$\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

similar para otros.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

para que podamos mostrar:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ $Y=\sigma r \sin(\theta)$

entonces

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

para mostrar independiente

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$

— Masoud
fuente

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$