Distribución de la relación gaussiana: derivados wrt subyacentes 's y s

Estoy trabajando con dos distribuciones normales independientes e , con medias y y varianzas y .Y μ x μ y σ 2 x σ 2 $X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Estoy interesado en la distribución de su relación . Ni ni tienen una media de cero, por lo que no se distribuye como Cauchy.$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

Necesito encontrar el CDF de , y luego tomar la derivada del CDF con respecto a , , y .$Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

¿Alguien sabe un documento donde estos ya se han calculado? ¿O cómo hacer esto yo mismo?

Encontré la fórmula para el CDF en un artículo de 1969 , pero tomar estos derivados definitivamente será un gran dolor. ¿Quizás alguien ya lo ha hecho o sabe cómo hacerlo fácilmente? Principalmente necesito saber los signos de estos derivados.

Este documento también contiene una aproximación analíticamente más simple si es mayormente positivo. No puedo tener esa restricción. Sin embargo, ¿quizás la aproximación tiene el mismo signo que la derivada verdadera incluso fuera del rango del parámetro?$Y$

Algunos documentos relacionados:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Considere usar un paquete matemático simbólico como Mathematica, si tiene una licencia, o Sage si no la tiene.

Si solo está haciendo un trabajo numérico, también podría considerar la diferenciación numérica.

Aunque tedioso, parece sencillo. Es decir, todas las funciones involucradas tienen derivadas fáciles de calcular. Puede usar la diferenciación numérica para probar su resultado cuando haya terminado para asegurarse de tener la fórmula correcta.

Este es el tipo de problema que es numéricamente muy fácil y también menos propenso a errores. Como usted dice que solo necesita los signos, supongo que las aproximaciones numéricas precisas son más que suficientes para sus necesidades. Aquí hay un código con un ejemplo de la derivada contra : $\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}