¿Cómo podría haber descubierto la distribución normal?

16

¿Cuál fue la primera derivación de la distribución normal? ¿Puede reproducir esa derivación y también explicarla dentro de su contexto histórico? ?

Quiero decir, si la humanidad se olvidara de la distribución normal, ¿cuál es la forma más probable de redescubrirla y cuál sería la derivación más probable? Supongo que las primeras derivaciones deben haber sido un subproducto de tratar de encontrar formas rápidas de calcular distribuciones de probabilidad discretas básicas, como los binomios. ¿Es eso correcto?

— statslearner
fuente

2

No es muy difícil encontrar distribuciones de probabilidad: tome cualquier función integrable positiva, normalícela y así tendrá una densidad de probabilidad. Ahora, si desea hacer una inferencia basada en la probabilidad con una familia de distribuciones, necesita que el logaritmo de la densidad sea una función convexa simple. Más precisamente, si desea la máxima probabilidad de minimizar una función de pérdida convexa dada, entonces la exponencial de esta pérdida es una elección adecuada de densidad. El error al cuadrado da lugar a la distribución Normal, y podría ser el ejemplo más simple de una pérdida convexa.

— Olivier

1

@Olivier, solo porque puedas inventar una distribución de probabilidad fácilmente no significa que sea útil o que aparezca en todas partes. Supongo que el descubrimiento de la distribución gaussiana está relacionado con la resolución de problemas reales, no solo con la normalización de una función.

— statslearner

2

Ya hay una serie de preguntas y respuestas relacionadas con esta historia, que pueden responder o responder parcialmente a su pregunta.

— Glen_b: reinstala a Monica

2

Vale la pena leer la sección en Wikipedia sobre la historia en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History . La conclusión que extraigo es que la prioridad aquí es, como tan a menudo, una cuestión de controversia internacional. Puede elegir entre De Moivre, Laplace, Gauss, ...

— mdewey

2

Echar un vistazo a esta pregunta aquí y la respuesta por @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/...~~V~~singular~~3rd Creo que una manera de cómo se podría reencontrar la distribución normal es mediante la adopción de medidas y darse cuenta de que hay una incertidumbre / error asociado con su medición, es decir, si repite sus mediciones una y otra vez, el resultado no será 100% idéntico. Entonces desea cuantificar la incertidumbre / error. Y luego necesitas algo de cálculo :) ¡También vale la pena leer la referencia de Stahl!

— Stefan

7

Supongo que las primeras derivaciones deben haber sido un subproducto de tratar de encontrar formas rápidas de calcular distribuciones de probabilidad discretas básicas, como los binomios. ¿Es eso correcto?

Si.

La curva normal fue desarrollada matemáticamente en 1733 por DeMoivre como una aproximación a la distribución binomial . Su artículo no fue descubierto hasta 1924 por Karl Pearson. Laplace usó la curva normal en 1783 para describir la distribución de errores. Posteriormente, Gauss utilizó la curva normal para analizar datos astronómicos en 1809.

Fuente: DISTRIBUCIÓN NORMAL

Otras fuentes con contexto histórico:

Hoy en día, el hecho de que la distribución Normal es una aproximación para Binomiales para grande se considera como un caso especial del Teorema del límite central. Se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto y se considera elemental. Puedes encontrar una prueba en Wikipedia . El exponencial solo aparece como $n$ después de una expansión de Taylor de la función característica que produce $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ . A veces todavía encuentras pruebas especiales para Binomios en los libros de texto y esto se conoce comoteorema de DeMoivre-Laplace. $-\frac{t^2}{2}$

— Benoit Sanchez
fuente

Benoit, la derivación de DeMoivre no parece elemental, ¿podrías incluirla en tu respuesta? Esta derivación DeMoivre es algo que estoy buscando (como nota al margen, ¿sabe si todos los cálculos y aproximaciones resultados - fórmula de stirling - por ejemplo? Estaban disponibles para DeMoivre ya, o se trata de una versión moderna de su prueba)

— statslearner

1

Esta es una versión moderna. No sé la derivación histórica de DeMoire. La única información histórica que tengo es el artículo señalado por Stephan y por mí.

— Benoit Sanchez

6

Stahl ("La evolución de la distribución normal", Mathematics Magazine , 2006) argumenta que los primeros rastros históricos de lo normal provienen del juego, las aproximaciones a las distribuciones binomiales (para la demografía) y el análisis de errores en astronomía.

— S. Kolassa - Restablece a Monica
fuente

44

Sí, pero en la mayoría (¿todos?) De esos casos, la distribución Normal no fue explícita. Esto suena un poco como concluir que Ben Franklin conocía (o inventó) las ecuaciones de Maxwell porque experimentó con la electricidad.

— whuber

¿Podría proporcionar las derivaciones que hicieron estos autores?

— statslearner el

Por ejemplo, ¿qué matemáticas necesitaban para obtenerlo?

— statslearner el

3

La parte histórica de la pregunta ya fue respondida, posiblemente, varias veces en este foro, por ejemplo, vea la respuesta aceptada a una pregunta similar. No, no se descubrió como una aproximación a distribuciones discretas. Dudo que haya una noción de distribución de probabilidad en ese momento. Fue descubierto por muchachos que se llaman físicos o matemáticos en estos días, supongo filósofos de la naturaleza en ese momento.

¿Cómo descubriría otra civilización la distribución normal? Es una pregunta interesante. Cualquiera que estudie errores y perturbaciones de cualquier tipo lo habría encontrado. Sucedió para que nuestra civilización lo encontrara mientras estudiaba los cuerpos celestes. Dudo que sea probable que otros humanos desarrollen estadísticas antes que la física o las matemáticas.

— Aksakal
fuente

2

También me hice esa pregunta y este video de YouTube es la mejor respuesta que he encontrado

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

No creo que sea la derivación original, pero la descripción del video dice "Este argumento está adaptado del trabajo del astrónomo John Herschel en 1850 y del físico James Clerk Maxwell en 1860".

— Sebastian
fuente

1

Lo que tiene de especial la distribución normal es la teoría del límite central. Para detalles y derivación / prueba ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

— elliotp
fuente

11

Esto no responde la pregunta.

— whuber

1

El tema de la pregunta es ¿Cómo podría haber descubierto la distribución normal? y la respuesta ciertamente responde eso.

— G. Grothendieck

1

$\propto \exp(-x^2)$ . El OP luego pregunta "Si la humanidad se olvidara de la distribución normal, ¿de qué manera sería redescubierta"? Esta es una pregunta completamente diferente. Creo que una respuesta relevante aquí es aquella que 1) toma prestada la perspectiva de la ciencia moderna 2) proporciona una respuesta que es diferente de la respuesta histórica más frecuente, también conocida como la Teoría del límite central.

En mecánica cuántica, teoría de la información y termodinámica, la entropía cuantifica el estado de un sistema. En estos campos, el estado cuántico es, de hecho, totalmente aleatorio o estocástico. Contrasta esto con la mecánica clásica. En la mecánica clásica, los estados son fijos, pero nuestra observación es imperfecta debido a la contribución de cientos o millones de factores de influencia no observados: este tipo de resultado da lugar a la CLT.

En mecánica cuántica, utilizamos la probabilidad bayesiana para cuantificar nuestra creencia sobre el estado del sistema. En ese sentido, se han presentado y ajustado las pruebas de que la variable aleatoria gaussiana o normal tiene una entropía máxima entre todas las variables aleatorias con media finita o desviación estándar.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

— AdamO
fuente