Operaciones trigonométricas en desviaciones estándar.

La suma, resta, multiplicación y división de variables aleatorias normales están bien definidas, pero ¿qué pasa con las operaciones trigonométricas?

Por ejemplo, supongamos que estoy tratando de encontrar el ángulo de una cuña triangular (modelada como un triángulo rectángulo) con los dos catheti que tienen dimensiones y $d_1$ $d_2$ , ambas descritas como distribuciones normales.

Tanto la intuición y la simulación me dicen que la distribución resultante es normal, con media $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ . Pero, ¿hay alguna manera de calcular la distribución del ángulo resultante? ¿Referencias sobre dónde encontraría la respuesta?

(Por un poco de contexto, estoy trabajando en la tolerancia estadística de las partes mecánicas. Mi primer impulso sería simplemente simular todo el proceso, verificar si el resultado final es razonablemente normal y calcular la desviación estándar. Pero me pregunto si puede haber un enfoque analítico más ordenado)

— Bossykena
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¿Podría confirmar que (a) d1 y d2 son las longitudes laterales (y no los ángulos); (b) que está asumiendo que el ángulo entre ellos es un ángulo recto (de lo contrario, la fórmula de atan es sospechosa); y (c) que está interesado en la distribución de uno de los otros ángulos de este triángulo rectángulo? Además, presumiblemente, la SD de cada distribución de longitud es mucho más pequeña de lo esperado porque el triángulo no debería tener ninguna probabilidad apreciable de una longitud del lado negativo :-).

— whuber

Exacto. He reformulado el problema para hacerlo un poco más claro. Y sí, la SD será pequeña en relación con las dimensiones.

— Bossykena

Usando fórmulas para la multiplicación y la suma, puedes probar la expansión de Taylor.

Gracias por sus excelentes respuestas, que (por lo que puedo ver con mi limitada experiencia en estadísticas) son intuitivas y sólidas.

— Bossykena

Respuestas:

En esta interpretación, el triángulo es un triángulo rectángulo de longitudes laterales e distribuidas binormalmente con expectativas y , desviaciones estándar y , y correlación . Buscamos la distribución de . Para este fin, estandarice e $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$ para que

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

con y variantes normales estándar con correlación . Sea un ángulo y, por conveniencia, escriba . Luego $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

El lado izquierdo, que es una combinación lineal de normales, es normal, con una media y una varianza . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Diferenciando el cdf normal de estos parámetros con respecto a $\theta$ obtiene el pdf del ángulo. La expresión es bastante espeluznante, pero una parte clave es la exponencial

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

$\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) of the logarithm of the pdf (as shown in equations (2.6) and (3.1) of the reference). I recommend a computer algebra system (like MatLab or Mathematica) for carrying this out!

— whuber
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There was never any chance of it being normally distributed. It is an angle! It only takes values on

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$ .

— Robby McKilliam

P(Y/X

\leq

$\le$ q) = P(Y

\leq

$\le$ qX) is not correct if X is a normal r.v. - X can be negative too.

— ronaf

@ronaf: actually, since

X

$X$ and

Y

$Y$ are the side lengths of a physical triangle, we should not have negative

X

$X$ !

— shabbychef

@ronaf: That's the right idea. If one uses signed side lengths and also considers the angle as a real value (rather than its value modulo

2 π

$2\pi$ ), there is no inconsistency with normality in either case. Your point about the inequality possibly being wrong is excellent. All I can do in response is to claim that the equation is an excellent approximation under the assumptions made because the chance of X or Y being negative is negligible.

— whuber

@YBE Estoy de acuerdo en que el último "+" en mi expresión parece que no pertenece; podría haberse deslizado cuando estaba limpiando el marcado TeX. No tengo una referencia porque calculé la derivada yo mismo.

— whuber

You are looking at circular statistics and in particular a circular distribution called the projected normal distribution.

For some reason this topic can be a little hard to google, but the two major texts on circular statistics are The Statistical Analysis of Circular Data by Fisher and Directional Statistics by Mardia and Jupp.

For a thorough analysis of the projected normal distribution see page 46 of Mardia and Jupp. There are closed form expressions (up to the error function integral) for the distribution, and as whuber has suggested, it looks similar to the normal when its `variance' (careful here, what does variance mean for a random variable on a circle?!) is small, i.e. when the distribution is quite concentrated at one point (or direction or angle).

— Robby McKilliam
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