Lo que es más alto, o

Así que tuve una prueba de probabilidad y realmente no pude responder esta pregunta. Simplemente preguntó algo como esto:

"Teniendo en cuenta que es una variable aleatoria, 0 , use la desigualdad correcta para demostrar qué es mayor o igual, E (X ^ 2) ^ 3 o E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Lo único que podía pensar era la desigualdad de Jensen, pero realmente no sé cómo aplicarla aquí.

De hecho, esto puede ser probado por la desigualdad de Jensen.

Sugerencia : Tenga en cuenta que para la función es convexa en (Ahí es donde se usa el supuesto ). Entonces la desigualdad de Jensen da y para , es el al revés.x α [ 0 , - ∞ ) X ≥ 0 E [ Y ] α ≤ E [ Y α ] α < $\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Ahora, transforme las variables en algo comparable y encuentre el relevante .$\alpha$

Desigualdad de Lyapunov (Ver: Casella y Berger, Inferencia estadística 4.7.6):

Para : E [ | X | r ] $1 < r < s < \infty$

Prueba :

Por la desigualdad de Jensens para convexo :$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Considere , luego donde ( E [ Y ] ) t ≤ E [ $\phi(Y) = Y^t$Y = | X | $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Sustituya :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

En general para esto implica:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Supongamos que X tiene una distribución uniforme en [0,1] luego E (X ) = y así E (X ) = y E ( X ) = entonces E (X ) = . Entonces, en este caso E (X ) > E (X ) . ¿Puedes generalizar esto o encontrar un contraejemplo?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$2 $^2$$^2$$^3$