¿Cómo probar si los coeficientes de regresión múltiple no son estadísticamente diferentes?

Digamos que calculo la siguiente regresión lineal multivariada

y = β_{0 0} + β_{1} X_{1} + β_{2} X_{2} + β_{3} X_{3} + β_{4 4} X_{4 4} + ϵ

$y = \beta_0 +\beta_1 x_1 +\beta_2 x_2+\beta_3x_3+\beta_4x_4 + \epsilon$ ¿Cómo puedo probar eso?

β_{1} = β_{2} = β_{3}

$\beta_1=\beta_2=\beta_3$ ?

Sé que para probar si $\beta_1=\beta_2$ simplemente puede construir una prueba con $Z$

Z = \frac{β_{1} - β_{2}}{\sqrt{s e_{β_{1}}^{2} + s e_{β_{2}}^{2}}}

$Z = \frac{\beta_1-\beta_2}{\sqrt{se_{\beta_1}^2+se_{\beta_2}^2}}$

¿Existe un análogo para las estimaciones de coeficientes múltiples?

regression hypothesis-testing multiple-regression

— Daria
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La prueba de igualdad de

β_{1}

$\beta_1$ y

β_{2}

$\beta_2$ asume implícitamente las estimaciones de la

β_{i}

$\beta_i$ no están correlacionados En general será incorrecto; el denominador debe incluir un término para su covarianza.

— whuber

Si sus variables X están en diferentes unidades, entonces los coeficientes beta también están en diferentes unidades. En ese caso, no veo cómo tendría sentido compararlos.

— Harvey Motulsky

Puedes usar el $F$ prueba para probar cualquier restricción lineal $L$ en tus coeficientes.

Deja que tu hipótesis nula sea $H_0:L\beta = c$ y tu matriz de diseño $X$ con rango $k$ . Entonces el $F$ la estadística será:

F = \frac{(L \hat{β} - C)^{'} ({\hat{σ}}^{2} L (X^{'} X)^{- 1} L^{'})^{- 1} (L \hat{β} - C)}{q}

$F = \frac{(L\hat{\beta}- c)'(\hat{\sigma}^2L(X'X)^{-1}L')^{-1}(L\hat{\beta} - c)}{q}$

dónde $q$ es la cantidad de restricciones que está probando. Debajo de la nula esto tendrá un $F$ distribución con grados de libertad $q$ y $n-k$ .

En Rusted puede hacerlo fácilmente con la función linearHypothesisdel carpaquete. Por ejemplo:

library(car) 
lm.model <- lm(mtcars)
linearHypothesis(lm.model, c("cyl = 0", "disp = 0", "hp = 0")) # all 3 zero
linearHypothesis(lm.model, c("cyl = disp", "disp = hp")) # all 3 equal

— Carlos Cinelli
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