Para definir los dos términos sin usar demasiado lenguaje técnico:
Un estimador es consistente si, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, las estimaciones (producidas por el estimador) "convergen" con el valor verdadero del parámetro que se estima. Para ser un poco más precisos, la consistencia significa que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución muestral del estimador se concentra cada vez más en el verdadero valor del parámetro.
Un estimador es imparcial si, en promedio, alcanza el valor del parámetro verdadero. Es decir, la media de la distribución de muestreo del estimador es igual al valor del parámetro verdadero.
Los dos no son equivalentes: la imparcialidad es una declaración sobre el valor esperado de la distribución muestral del estimador. La consistencia es una declaración sobre "hacia dónde va la distribución de muestreo del estimador" a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
Ciertamente es posible que se satisfaga una condición pero no la otra; daré dos ejemplos. Para ambos ejemplos considerar una muestra de de una población N ( μ , σ 2 ) .X1, . . . , Xnortenorte( μ , σ2)
Imparcial pero no consistente: suponga que está estimando . Entonces X 1 es un estimador imparcial de μ ya que E ( X 1 ) = μ . Pero, X 1 no es consistente ya que su distribución no se concentra más alrededor de μ a medida que aumenta el tamaño de la muestra: ¡siempre es N ( μ , σ 2 ) !μX1μmi( X1)=μX1μN(μ,σ2)
Consistente pero no imparcial: suponga que está estimando . El estimador de probabilidad máxima es σ 2 = 1σ2donde ¯ X es la media muestral. Es un hecho queE( σ 2)=n-1
σ^2=1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯¯)2
X¯¯¯¯ herefore, σ 2que se puede derivar usando la informaciónaquí. Por lo tanto σ 2es empujado para cualquier tamaño de la muestra finita. También podemos derivar fácilmente quevunr( σ 2)=2σ4(n-1)mi( σ^2) = n - 1norteσ2
σ^2σ^2 A partir de estos hechos podemos ver de manera informal que la distribución de σ 2es cada vez más concentrada enσ2a medida que aumenta el tamaño de la muestra ya que la media está convergiendo asigma2y la varianza converge a0. (Nota:Esto constituye una prueba de coherencia, utilizando el mismo argumento que el utilizado en la respuestaaquí)v a r ( σ^2) = 2 σ4 4( n - 1 )norte2
σ^2σ2σ20 0