Valor de registro esperado de distribución exponencial no central

Supongamos que está distribuido exponencialmente no central con la ubicación y la tasa . Entonces, qué es . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Sé que para , la respuesta es donde es la constante de Euler-Mascheroni. ¿Qué pasa cuando ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Neil G
fuente

¿Has intentado integrarte en Mathematica?

Supongo que (cuando la densidad se escribe como ,) de lo contrario con probabilidad> 0, con terribles consecuencias para .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

Obtuve . Mathematica es más rápido si usa el comando para especificar el espacio de parámetros.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

¿La función gamma incompleta superior cuenta como forma cerrada ? (Para mí, no lo hace). Esto simplemente está ocultando convenientemente una integral a través de la notación.

— cardenal

@NeilG Este es el código de Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Puede copiarlo y pegarlo en un archivo .nb. No estoy seguro de si Wolfram Alpha permite incluir restricciones.

La integral deseada puede ser sometida mediante manipulaciones de fuerza bruta; aquí, en su lugar, intentamos dar una derivación alternativa con un sabor ligeramente más probabilístico.

Sea una variable aleatoria exponencial no central con el parámetro de ubicación y el parámetro de velocidad . Entonces donde . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Tenga en cuenta que y así, utilizando un hecho estándar para calcular la expectativa de variables aleatorias no negativas , Pero, en desde y entonces $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$ donde la última igualdad se deduce de la sustitución , señalando que .

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

La integral en el tamaño de la derecha de la última pantalla es solo por definición y entonces según lo confirmado por el cálculo de Mathematica de @ Procrastinator en los comentarios a la pregunta. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : La notación equivalente también se usa a menudo en lugar de . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— cardenal
fuente

+1 @Michael Chernick Parece que no todos son flojos;).

Esto es realmente genial Solo quiero señalar a cualquiera que implemente esto que muchas implementaciones de la función gamma incompleta restringen el primer parámetro para que sea estrictamente positivo. La identidad resuelve ese problema menor.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G