Prueba de hipótesis en la matriz de covarianza inversa

Supongamos que observo iid , y deseo probar vech para un matriz conformable y vector . ¿Hay trabajo conocido sobre este problema? $x_i \sim \mathcal{N}\left(\mu,\Sigma\right)$ $H_0: A\$ $\left(\Sigma^{-1}\right) = a$ $A$ $a$

El intento obvio (para mí) sería a través de una prueba de razón de probabilidad, pero parece que maximizar la probabilidad sujeta a las restricciones de requeriría un solucionador de SDP y podría ser bastante difícil. $H_0$

— shabbychef
fuente

¿Tiene alguna restricción adicional sobre ? Si es invertible, entonces . El problema entonces asciende a un problema bien conocido: el de probar si . Aquí (recuerde que determina únicamente).

A

$A$

A

$A$

H_{0} = v e c h (Σ^{- 1}) = A^{- 1} a

$H_0=\rm{vech}(\Sigma^{-1})=A^{-1}a$

Σ^{- 1} = B

$\Sigma^{-1}=B$

v e c h (B) = A^{- 1} a

$\rm{vech}(B)=A^{-1}a$

v e c h (B)

$\rm{vech}(B)$

B

$B$

— MånsT

@ MånsT; tristemente estoy interesado en el caso general. Por lo general, tendrá alrededor de 10 filas y 400 columnas más o menos.

A

$A$

— shabbychef

Una cosa que me pregunto sobre este problema es la viabilidad. Obviamente, es fácil encontrar pares modo que ninguna matriz semidefinida positiva pueda satisfacer las restricciones. Potencialmente más problemático para una prueba de razón de probabilidad es que parece que puede haber casos en los que incluso cuando la hipótesis nula fuera cierta, con alta probabilidad de que uno obtenga una instancia de problema inviable. Quizás esa última parte está equivocada sin embargo. (+1) Sueles hacer preguntas interesantes y desafiantes. Disfruto leyendo y pensando un poco en ellos.

(A, a)

$(A,a)$

— cardenal

@cardinal Buena captura! No había pensado en eso porque, en la aplicación que estoy considerando, la hipótesis nula restringe solo los elementos no diagonales de (las columnas correspondientes de son todas cero). Como la diagonal puede ser arbitrariamente grande, puedo garantizar la viabilidad.

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

A

$A$

— shabbychef

Beran y Srivastava (1985, Annals of Statistics) tuvieron un documento en el que propusieron un enfoque general de arranque para aplicar una rotación a la matriz de covarianza que haga que coincida con la distribución bajo nulo. Sin embargo, el punto de @ cardinal sobre la existencia de dicha matriz es muy relevante aquí. Debe ser capaz de encontrar al menos algún tipo de aproximación para una matriz que satisfaga las restricciones que impone bajo nulo.

Chen, Variyath y Bovas tuvieron un artículo sobre la probabilidad empírica ajustada donde demostraron cómo se puede usar para probar una estructura bastante extraña en la matriz de covarianza. Creo que este artículo finalmente salió en CJS.

— StasK
fuente

No estoy seguro de poder traducirlos fácilmente en una solución a mi problema, pero ambos son lecturas fascinantes. +1.

— shabbychef