¡La distribución normal bivariada es la excepción , no la regla!
Es importante reconocer que "casi todas" las distribuciones conjuntas con márgenes normales no son la distribución normal bivariada. Es decir, el punto de vista común de que las distribuciones conjuntas con marginales normales que no son bivariadas son de alguna manera "patológicas", es un poco equivocado.
Ciertamente, la normalidad multivariada es extremadamente importante debido a su estabilidad bajo transformaciones lineales, y por eso recibe la mayor parte de la atención en las aplicaciones.
Ejemplos
Es útil comenzar con algunos ejemplos. La siguiente figura contiene mapas de calor de seis distribuciones bivariadas, todas las cuales tienen márgenes normales normales. Los de la izquierda y el medio en la fila superior son normales bivariados, los restantes no lo son (como debería ser evidente). Se describen más abajo.
Los huesos desnudos de las cópulas.
Las propiedades de dependencia a menudo se analizan eficientemente usando cópulas . Una cópula bivariada es solo un nombre elegante para una distribución de probabilidad en la unidad cuadrada con marginales uniformes .[0,1]2
Supongamos que es una cópula bivariada. Entonces, inmediatamente de lo anterior, sabemos que , y , por ejemplo.C ( u , v ) ≥ 0 C ( u , 1 ) = u C ( 1 , v ) = vC(u,v)C(u,v)≥0C(u,1)=uC(1,v)=v
Podemos construir variables aleatorias bivariadas en el plano euclidiano con marginales preespecificados mediante una simple transformación de una cópula bivariada. Deje que y se prescriban distribuciones marginales para un par de variables aleatorias . Entonces, si es una cópula bivariada,
es una función de distribución bivariada con marginales y . Para ver este último hecho, solo tenga en cuenta que
El mismo argumento funciona para .F 2 ( X , Y ) C ( u , v ) F ( x , y ) = C ( F 1 ( x ) , F 2 ( y ) ) F 1 F 2 P ( X ≤ x ) = P ( X ≤ x , Y < ∞ ) = C ( FF1F2(X,Y)C(u,v)
F(x,y)=C(F1(x),F2(y))
F1F2P(X≤x)=P(X≤x,Y<∞)=C(F1(x),F2(∞))=C(F1(x),1)=F1(x).
F2
Para y continuos , el teorema de Sklar afirma una inversa que implica unicidad. Es decir, dada una distribución bivariada con marginales continuos , , la cópula correspondiente es única (en el espacio de rango apropiado).F 2 F ( x , y ) F 1 F 2F1F2F(x,y)F1F2
La bivariada normal es excepcional.
El teorema de Sklar nos dice (esencialmente) que solo hay una cópula que produce la distribución normal bivariada. Esta es, acertadamente llamada, la cópula gaussiana que tiene densidad en
donde el numerador es la distribución normal bivariada con correlación evaluada en y .[0,1]2
cρ(u,v):=∂2∂u∂vCρ(u,v)=φ2,ρ(Φ−1(u),Φ−1(v))φ(Φ−1(u))φ(Φ−1(v)),
ρΦ−1(u)Φ−1(v)
Pero, hay muchas otras cópulas y todas ellas darán una distribución bivariada con marginales normales que no es la bivariada normal al usar la transformación descrita en la sección anterior.
Algunos detalles sobre los ejemplos
Tenga en cuenta que si es una cópula arbitraria con densidad , la densidad bivariada correspondiente con marginales normales estándar bajo la transformación es
C(u,v)c(u,v)F(x,y)=C(Φ(x),Φ(y))
f(x,y)=φ(x)φ(y)c(Φ(x),Φ(y)).
Tenga en cuenta que al aplicar la cópula gaussiana en la ecuación anterior, recuperamos la densidad normal bivariada. Pero, para cualquier otra opción de , no lo haremos.c(u,v)
Los ejemplos en la figura se construyeron de la siguiente manera (cruzando cada fila, una columna a la vez):
- Bivariada normal con componentes independientes.
- Bivariada normal con .ρ=−0.4
- El ejemplo dado en esta respuesta de Dilip Sarwate . Se puede ver fácilmente que es inducida por la cópula con densidad .C(u,v)c(u,v)=2(1(0≤u≤1/2,0≤v≤1/2)+1(1/2<u≤1,1/2<v≤1))
- Generado a partir de la cópula Frank con el parámetro .θ=2
- Generado a partir de la cópula Clayton con el parámetro .θ=1
- Generado a partir de una modificación asimétrica de la cópula Clayton con el parámetro .θ=3