¿Existe una generalización de la traza Pillai y la traza Hotelling-Lawley?

En el contexto de la regresión múltiple multivariada (regresor de vectores y regresiones), las cuatro pruebas principales para la hipótesis general (Wilk's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley y Roy's Largest Root) dependen de los valores propios de la matriz , donde y son las matrices de variación 'explicadas' y 'totales'. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Me di cuenta de que las estadísticas de Pillai y Hotelling-Lawley podían expresarse como para, respectivamente, . Estoy mirando una aplicación en la que la distribución de esta traza, definida para los análogos de población de y , es de interés para el caso . (errores de módulo en mi trabajo). Tengo curiosidad por saber si existe alguna unificación conocida de las estadísticas de muestra para general , o alguna otra generalización que capture dos o más de las cuatro pruebas clásicas. Me doy cuenta de que para no es igual a o

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , el numerador ya no se ve como un Chi-cuadrado debajo del nulo, por lo que una aproximación F central parece cuestionable, por lo que quizás este sea un callejón sin salida.

Espero que haya habido alguna investigación sobre la distribución de bajo nulo ( es decir, la verdadera matriz de coeficientes de regresión es cero), y bajo la alternativa. Estoy interesado particularmente en el caso , pero si hay trabajo en el caso general , podría, por supuesto, usarlo. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— shabbychef
fuente

Espera, ¿ es la variación explicada 'E' y es la variación total 'T'? Solo estoy revisando mis mnemotécnicos.

H

$H$

E

$E$

— cardenal

@ cardinal, eso es correcto. Cuando es el mínimo cuadrado multivariante que se ajusta a los coeficientes de correlación, tenemos y Una descripción general (literalmente) de Michael Friendly me ha sido muy útil: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

¡Gracias! Le echaré un vistazo. (Por cierto, estaba bromeando sobre la base de la elección de letras, 'h' para 'explicado' y 'e' para 'total'.) Por cierto, pregunta interesante; (+1) de mi parte.

— Cardenal

@cardinal Estaba con cafeína insuficiente para notar el chiste. Sí, los mnemónicos son malos, pero la elección de y (y ) es bastante estándar.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef

La broma fue lo suficientemente mala como para requerir mucha cafeína para darse cuenta.

— cardenal

Me imagino que las generalizaciones productivas surgirían de observaciones que

algunas de estas pruebas son normas del vector , por lo que el rastro de Hotelling-Lawley es la norma , , y la raíz más grande de Roy es la norma , . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
algunas de estas pruebas pueden ser una norma de la matriz , por ejemplo, la raíz más grande de Roy es la espectral, o , norma . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
algunas de las pruebas pueden tener la forma de entropía generalizada , por ejemplo, el rastro de Hotelling-Lawley es GE (1), la raíz más grande de Roy es GE ( ) y Wilks ' es GE (-1) en , hasta una transformación monótona cada uno. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Cuando se entretienen otras normas u otros parámetros de entropía generalizados, se pueden llegar a otras estadísticas que podrían ser significativas. embargo, dudo que alguno de ellos produzca su . $\psi_2$

— StasK
fuente

Creo que tenemos , donde son los valores propios de . Pero eso no parece llevarme a ninguna parte. Supongo que no sé lo suficiente sobre la distribución de las sumas de los valores propios ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef