Momentos de una distribución: ¿algún uso para momentos parciales o superiores?

Es habitual usar el segundo, tercer y cuarto momentos de una distribución para describir ciertas propiedades. ¿Los momentos parciales o los momentos superiores al cuarto describen propiedades útiles de una distribución?

distributions moments partial-moments

— Eduardas
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No es una respuesta, pero una cosa a tener en cuenta es que los momentos de orden superior requieren muchas más observaciones para obtener el primer sig-fig.

— isomorphismes

Una publicación que usa momentos parciales es stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Entonces, los momentos parciales tienen algún uso, y probablemente podrían usarse más.

— kjetil b halvorsen

Respuestas:

Además de las propiedades especiales de unos pocos números (p. Ej., 2), la única razón real para destacar momentos enteros en lugar de momentos fraccionarios es la conveniencia.

Los momentos más altos se pueden usar para comprender el comportamiento de la cola. Por ejemplo, una variable aleatoria centrada con varianza 1 tiene colas subgaussianas (es decir, para algunas constantes ) si y solo si $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ para caday alguna constante. $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Mark Meckes
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el resultado que declaras para colas [sub] gaussianas no se ve bien. de acuerdo con el límite [

] usted cita, lanorma

de una variable gaussiana centrada no excedería [en el límite] 1. pero lanorma

de un rv tiende a su ess sup, que es

para una variable gaussiana.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ronaf

Gracias por atrapar eso. Olvidé el exponente en el RHS; Está corregido ahora.

— Mark Meckes

¿podría proporcionar una referencia para este resultado?

— Gary

@Gary: desafortunadamente no conozco una referencia (publicada o en línea); es parte del folklore de mi campo, enunciado en cursos pero escrito como "simple y conocido" en los documentos. Sin embargo, la prueba es fácil. Dada la estimación de cola, la estimación de momento se deriva de la integración por partes (es decir,

) y la fórmula de Stirling. Dado el cálculo del momento, el cálculo de la cola sigue aplicando la desigualdad de Markov y optimizando sobre

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes

Sospecho que escucho a la gente preguntar sobre el tercer y cuarto momento. Hay dos errores comunes que las personas a menudo tienen en mente cuando mencionan el tema. No digo que necesariamente esté cometiendo estos errores, pero a menudo aparecen.

Primero, parece que implícitamente creen que las distribuciones pueden reducirse a cuatro números; sospechan que solo dos números no son suficientes, pero tres o cuatro deberían ser suficientes.

En segundo lugar, suena como volver a escuchar el enfoque de estadísticas de coincidencia de momentos que ha perdido en gran medida los métodos de máxima probabilidad en las estadísticas contemporáneas.

Actualización: amplié esta respuesta en una publicación de blog .

— John D. Cook
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Un ejemplo de uso (la interpretación es un mejor calificador) de un momento superior: el quinto momento de una distribución univariante mide la asimetría de sus colas.

— usuario603
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¿Pero el tercer momento (central) no hace esto de una manera más estable y práctica?

— whuber

@Whuber:> el tercero mide la asimetría general, que no es lo mismo que la asimetría de la cola. Debido al mayor exponente, el valor del quinto está determinado casi por completo por las colas.

— user603

@Kwak: Gracias por aclarar su significado. Por supuesto, la misma respuesta podría aplicarse a cualquier momento extraño: miden la asimetría cada vez más en las colas.

— whuber

@Whuber:> Por supuesto. Tenga en cuenta que incluso para una distribución de cola justa como la gaussiana, para el séptimo momento ya está en efecto comparando el máximo con el mínimo.

— usuario603

@Kwak: dos preguntas de seguimiento rápido; No es necesario responder si no quieres. (1) "¿Cola justa"? (2) ¿Cuáles son los mínimos y máximos de un gaussiano?

— whuber