¿Cuál es la diferencia entre correlación serial y tener una raíz unitaria?

Puedo estar mezclando mis conceptos de series temporales y no series temporales, pero ¿cuál es la diferencia entre un modelo de regresión que exhibe correlación serial y un modelo que exhibe una raíz unitaria?

Además, ¿por qué puede usar una prueba de Durbin-Watson para probar la correlación en serie, pero debe usar una prueba de Dickey-Fuller para las raíces unitarias? (Mi libro de texto dice que esto se debe a que la prueba Durbun Watson no se puede usar en modelos que incluyen retrasos en las variables independientes).

time-series autocorrelation unit-root

— hgcrpd
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Relacionado: explicación intuitiva de la raíz unitaria .

— whuber

Una explicación más simple puede ser esta: si tiene un proceso AR (1) donde es ruido blanco, entonces la prueba de autocorrelación es (y puede ejecutar OLS que se comporta correctamente bajo nulo), mientras que la prueba de la raíz de la unidad es . Ahora, con la raíz unitaria, el proceso no es estacionario bajo nulo, y OLS falla por completo, por lo que debe entrar en el truco de Dickey-Fuller para tomar las diferencias y tal.

y_{t} = ρ y_{t - 1} + ϵ_{t},

$y_t = \rho y_{t-1} + \epsilon_t,$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

H_{0; AC} : ρ = 0

$H_{0;\mbox{AC}}: \rho=0$

H_{0; UR} : ρ = 1

$H_{0;\mbox{UR}}: \rho=1$

— StasK
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Si tiene, por ejemplo, un proceso autorregresivo, y observa lo que se llama el polinomio característico, ese polinomio tiene raíces complejas (tal vez algunas o todas sean raíces reales). Si todas las raíces están dentro del círculo unitario, el proceso es estacionario; de lo contrario, no es estacionario. Se está buscando una prueba de raíces unitarias para ver si el proceso específico es estacionario según los datos observados (parámetros desconocidos).

Una prueba de correlación en serie es completamente diferente. Analiza la función de autocorrelación y realiza una prueba para ver si todas las correlaciones son cero o no (a veces denominado prueba de ruido blanco).

La respuesta a la segunda pregunta es que diferentes problemas requieren diferentes pruebas. No entiendo lo que describe tu libro. Veo estas pruebas como pruebas en series de tiempo individuales. No veo dónde entran en él las variables independientes y dependientes.

— Michael R. Chernick
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Creo que esta respuesta se mejoraría (a) especificando qué "polinomio característico" está considerando, ya que hay al menos dos formas comunes con una de ellas que se ajusta ampliamente a su descripción y la otra no (b) aclarando eso para su elección particular de polinomio característico que busca raíces estrictamente dentro del círculo unitario y (c) esencialmente lo que hace una prueba de raíz unitaria es precisamente lo que dice, es decir, probar una raíz que se encuentra exactamente en el círculo unitario. Dicho esto, uno necesita un poco más de lo indicado para obtener un proceso estacionario de sentido amplio.

— Cardenal

Gracias por aclarar la prueba de raíz unitaria para el OP. En cuanto a la ambigüedad sobre el polinomio característico, no era consciente de ello. Debe quedar claro de la literatura de series de tiempo a qué polinomio me refiero. Verifique la definición en Box and Jenkins book si no está seguro. Cualquier proceso AR con al menos una raíz del polinomio característico dentro o fuera del círculo unitario no es estacionario. Por supuesto, la prueba de raíz unitaria está probando las raíces en el círculo unitario. Pero tenga en cuenta que los coeficientes para el proceso AR no se conocen.

— Michael R. Chernick

Por lo tanto, los datos solo nos proporcionan coeficientes estimados y, por lo tanto, estamos buscando polinomios característicos cercanos al que tiene las estimaciones de muestra de los coeficientes. Probar la hipótesis de que la media de una distribución es 0 no prueba realmente que la media sea exactamente 0, pero prácticamente hablando de que está muy cerca de 0. De manera similar, una prueba de raíz unitaria realmente está probando si el polinomio característico para el modelo tiene un raíz cerca del círculo unitario y, por lo tanto, el proceso está cerca o dentro del límite de la estacionariedad. Es un problema de prueba de hipótesis estadísticas.

— Michael R. Chernick

Michael, planteé los puntos en mi primer comentario precisamente porque lo que se dice en esta respuesta es lo opuesto a la presentación habitual en la mayoría de la literatura de series temporales. Si su ecuación característica es , entonces las raíces deben estar fuera del círculo unitario para asegurar la estacionariedad. (cont.)

1 - ϕ_{1} B - ϕ_{2} B^{2} - \dots - ϕ_{p} B^{p} = 0

$1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 - \ldots - \phi_p B^p = 0$

— cardenal

Marqué la casilla: Jenkins y Reinsel. Podemos cerrar esto aquí. En la página 56 definen la ecuación característica (el mismo polinomio característico que yo pretendía). La factorización compleja da los términos 1-Gi B. Dicen por estacionariedad que Gi debe estar en el círculo unitario. Pero es el inverso (en el sentido de números complejos) que es la raíz de la ecuación. Entonces, todas las raíces se encuentran fuera del círculo de la unidad para la estacionariedad. Esa fue mi confusión.

— Michael R. Chernick