Jeffreys antes de probabilidad binomial

Si uso un Jeffreys antes para un parámetro de probabilidad binomial entonces esto implica usar una distribución . $\theta$ $\theta \sim beta(1/2,1/2)$

Si me transformo en un nuevo marco de referencia entonces claramente tampoco se distribuye como una distribución . $\phi = \theta^2$ $\phi$ $beta(1/2,1/2)$

Mi pregunta es ¿en qué sentido Jeffreys es invariante antes de las reparametrizaciones? Creo que estoy entendiendo mal el tema para ser honesto ...

Mejor,

Ben

bayesian jeffreys-prior

— ben18785
fuente

El previo de Jeffreys es invariable en el sentido de que comenzar con un previo de Jeffreys para una parametrización y ejecutar el cambio de variable apropiado es idéntico a derivar el previo de Jeffreys directamente para esta nueva parametrización. En realidad, equivalente sería un término más apropiado que invariante .

— Xi'an

@ ben18785: eche un vistazo a stats.stackexchange.com/questions/38962/…

— Zen

Vea también math.stackexchange.com/questions/210607/… (más o menos la misma pregunta, creo, pero en un sitio diferente).

— Nathaniel

Ver también stats.stackexchange.com/questions/139001/…

— Christoph Hanck

Tengamos , donde es una función monótona de y dejemos que sea el inverso de , de modo que . Podemos obtener la distribución previa de Jeffrey de dos maneras: $\phi = g(\theta)$ $g$ $\theta$ $h$ $g$ $\theta = h(\phi)$ $p_{J}(\phi)$

Comience con el modelo Binomial (1) vuelve a parametrizar el modelo con para obtener y obtenga la distribución previa de Jeffrey para este modelo. $p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}$ $\begin{equation} \label{original} p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y} \end{equation}$ $\phi = g(\theta)$ $p (y | ϕ) = (\binom{n}{y}) h (ϕ)^{y} (1 - h (ϕ))^{n - y}$ $p(y | \phi) = \binom{n}{y} h(\phi)^{y} (1-h(\phi))^{n-y}$ $p_{J}(\phi)$
Obtenga la distribución previa de Jeffrey del modelo Binomial original 1 y aplique la fórmula de cambio de variables para obtener la densidad previa inducida en $p_{J}(\theta)$ $\phi$ $p_{J} (ϕ) = p_{J} (h (ϕ)) | \frac{d h}{d ϕ} | .$ $p_{J}(\phi) = p_{J}(h(\phi)) |\frac{dh}{d\phi}|.$

Ser invariante para las reparametrizaciones significa que las densidades derivadas en ambos sentidos deben ser las mismas. El anterior de Jeffrey tiene esta característica [Referencia: Un primer curso en métodos estadísticos bayesianos por P. Hoff .] $p_{J}(\phi)$

Para responder tu comentario. Para obtener la distribución previa de Jeffrey partir de la probabilidad del modelo binomial debemos calcular la información de Fisher tomando el logaritmo de probabilidad y calcular la segunda derivada de y la información de Fisher es $p_{J}(\theta)$

p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}

$p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y}$

l

$l$

l

$l$

\begin{aligned} l := \log (p (y | θ)) & \propto y \log (θ) + (n - y) \log (1 - θ) \\ \frac{\partial l}{\partial θ} & = \frac{y}{θ} - \frac{n - y}{1 - θ} \\ \frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} & = - \frac{y}{θ^{2}} - \frac{n - y}{(1 - θ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} l := \log(p(y | \theta)) &\propto y \log(\theta) + (n-y) \log(1-\theta) \\ \frac{\partial l }{\partial \theta} &= \frac{y}{\theta} - \frac{n-y}{1-\theta} \\ \frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} &= -\frac{y}{\theta^{2}} - \frac{n-y}{ (1-\theta)^{2} } \end{align*}$

\begin{aligned} I (θ) & = - E (\frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} | θ) \\ = \frac{n θ}{θ^{2}} + \frac{n - n θ}{(1 - θ)^{2}} \\ = \frac{n}{θ (1 - θ)} \\ \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} I(\theta) &= -E(\frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} | \theta) \\ &= \frac{n\theta}{\theta^{2}} + \frac{n - n \theta}{(1-\theta)^{2}} \\ &= \frac{n}{\theta ( 1- \theta)} \\ &\propto \theta^{-1} (1-\theta)^{-1}. \end{align*}$ El anterior de Jeffrey para este modelo es que es .

\begin{aligned} p_{J} (θ) & = \sqrt{I (θ)} \\ \propto θ^{- 1 / 2} (1 - θ)^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align*} p_{J}(\theta) &= \sqrt{I(\theta)} \\ &\propto \theta^{-1/2} (1-\theta)^{-1/2} \end{align*}$

beta (1 / 2, 1 / 2)

$\texttt{beta}(1/2, 1/2)$

— Marko Lalović
fuente

Gracias por tu respuesta. Aunque me temo que estoy siendo un poco lento. ¿En qué sentido podemos obtener un prior a partir de una probabilidad? Son dos cosas separadas, y la última no implica la primera ...

— ben18785

Respondí anteriormente obteniendo un anterior de Jeffrey de la probabilidad del modelo Binomial.

p_{J} (θ)

$p_{J}(\theta)$

— Marko Lalović