Presento aquí lo que se ha sugerido en los comentarios de @jbowman.
Deje una constante . Deje que siga un y considere . Luegoa ≥ 0YyoExp (1)Zyo= Yyo- un
Pr ( Zyo≤ zyo∣ Yyo≥ a ) = Pr ( Yyo- a ≤ zyo∣ Yyo≥ a )
⟹Pr ( Yyo≤ zyo+ a ∣ Yyo≥ a ) = Pr ( Yyo≤ zyo+ a , Yyo≥ a )1 - Pr ( Yyo≤ a )
⟹Pr ( a ≤ Yyo≤ zyo+ a )1 - Pr ( Yyo≤ a )= 1 - e- zyo- un- 1 + e- unmi- un= 1 - e- zyo
cual es la función de distribución de .Exp (1)
Describamos esto: la probabilidad de que un rv caiga en un intervalo específico (el numerador en la última línea), dado que excederá el límite inferior del intervalo (el denominador), depende solo del longitud del intervalo y no en donde este intervalo se coloca en la línea real. Exp (1)Esta es una encarnación de la propiedad " falta de memoria " de la distribución exponencial, aquí en un entorno más general, libre de interpretaciones de tiempo (y se aplica a la distribución exponencial en general)
Ahora, al condicionar , a a ser no negativo y, de manera crucial, el resultado obtenido se mantiene . Entonces podemos decir lo siguiente: { Yyo≥ a }Zyo∀ a ∈ R+
Si , entonces . Yyo∼ Exp (1)∀ Q ≥ 0 : Zyo= Yyo- Q ≥ 0 ⟹ Zyo∼ Exp (1)
¿Podemos encontrar un que sea libre de tomar todos los valores reales no negativos y para el cual la desigualdad requerida siempre se mantenga (casi seguramente)? Si podemos, entonces podemos prescindir del argumento condicionante. Q ≥ 0
Y de hecho podemos. Es la estadística de orden mínimo , , . Entonces hemos obtenidoQ = Y( 1 )Pr ( Yyo≥ Y( 1 )) = 1
Yyo∼ Exp (1)⟹Yyo- Y( 1 )∼ Exp (1)
Esto significa que
Pr ( Yyo- Y( 1 )≤ yyo- y( 1 )) = Pr ( Yyo≤ yyo)
Entonces, si la estructura probabilística de permanece sin cambios si restamos la estadística de orden mínimo, se deduce que las variables aleatorias y donde independientes, también son independientes ya que el posible vínculo entre ellos, no tiene un efecto en la estructura probabilística.YyoZyo= Yyo- Y( 1 )Zj= Yj- Y( 1 )Yyo, YjY( 1 )
Entonces la suma contiene iid variables aleatorias (y un cero), y así∑nortei = 1( Yyo- Y( 1 ))n - 1 Exp (1)
∑i = 1norte( Yyo- Y( 1 )) ∼ Gamma ( n - 1 , 1 )