Tercer momento central de una suma de un número aleatorio de variables aleatorias iid

Inspirado por esta pregunta , traté de obtener una expresión para el tercer momento central de una suma de un número aleatorio de variables aleatorias iid. Mi pregunta es si es correcta y, si no, qué está mal o qué supuestos adicionales podrían faltar.

Específicamente, deje:

S = \sum_{1}^{N} X_{i},

$S=\sum_1^N{X_i},$ dónde

N

$N$ es una variable aleatoria de valor entero no negativa.

Supongamos que las distribuciones de ambos $N$ y $X$ son conocidos (y $X_i$ son iid), quiero saber el valor del tercer momento central de $S$ .

Usando la ley de la acumulación total:

μ_{3} (S) = E [μ_{3} (S | N)] + μ_{3} (E [S | N]) + 3 c o v (E [S | N], V [S | N]),

$\mu_3(S)=E[\mu_3(S|N)]+\mu_3(E[S|N])+3cov(E[S|N],V[S|N]),$

pero $E[S|N]=N\cdot E[X]$ , $E[S|N]=N\cdot V[X]$ y si tengo razón $\mu_3(S|N)=N\cdot \mu_3[X]$ . Por lo tanto:

μ_{3} (S) = E [N \cdot μ_{3} (X)] + μ_{3} (N \cdot E [X]) + 3 c o v (N \cdot E [X], N \cdot V [X]),

$\mu_3(S)=E[N\cdot \mu_3(X)]+\mu_3(N\cdot E[X])+3cov(N\cdot E[X],N\cdot V[X]),$

y, desde los momentos de $X$ se supone que son conocidos:

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] c o v (N, N)

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]cov(N,N)$

Por supuesto, $cov(N,N)=V[N]$ , entonces:

μ_{3} (S) = μ_{3} (X) E [N] + E [X]^{3} μ_{3} (N) + 3 E [X] V [X] V [N]

$\mu_3(S)=\mu_3(X)E[N]+E[X]^3\mu_3(N)+3E[X]V[X]V[N]$

¿Es correcto? ¿Qué está mal? ¿Qué supuestos adicionales me estoy perdiendo?

random-variable moments

— Rafael
fuente

Tus pasos me parecen correctos. Necesitamos asumir que los momentos existen. El único paso del que no estaba seguro era $\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$ . Pero, podemos probar que:

\begin{aligned} μ_{3} (S | X) & = E [(S - E [S])^{3} | N] \\ = E [{(\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X]))}^{3} | N] \\ = E [\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - E [X])^{3} | N] \end{aligned}

$\begin{align} \mu_3(S | X) &= E\left[(S - E[S])^3 | N \right] \\ &= E\left[ \left( \sum_{i=1}^N (X_i - E[X]) \right)^3 \middle| N \right] \\ &= E \left[ \sum_{i=1}^N (X_i - E[X])^3 \middle| N\right] \end{align}$ donde establecer la última igualdad, podemos usar el teorema multinomial. Para una dada

n

$n$ ,

\begin{aligned} E [{(\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X]))}^{3}] & = E [\sum_{\sum_{i = 1}^{n} k_{i} = 3} (\binom{3}{k_{1}, \dots, k_{n}}) (X_{1} - E [X])^{k_{1}} \dots (X_{n} - E [X])^{k_{n}}] \\ = E [\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E [X])^{3}], \end{aligned}

$\begin{align} E\left[ \left( \sum_{i=1}^n (X_i - E[X]) \right)^3 \right] &= E \left[ \sum_{\sum_{i=1}^n k_i = 3} {3 \choose{k_1, \ldots, k_n}} (X_1 - E[X])^{k_1} \cdots (X_n - E[X])^{k_n} \right] \\ &= E\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - E[X])^3 \right], \end{align}$ porque cuando para cualquier , existe otra donde (debido a la independencia de y y al hecho de que la expectativa de es cero, lo que hace que ese término en particular se vuelva cero). Ahora debería quedar claro que .

k_{i} = 2

$k_i = 2$

i

$i$

j

$j$

k_{j} = 1

$k_j=1$

X_{i}

$X_i$

X_{j}

$X_j$

X_{j} - E [X]

$X_j - E[X]$

μ_{3} (S | X) = N \cdot μ_{3} [X]

$\mu_3(S | X) = N \cdot \mu_3[X]$

— jagdish
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