Prueba de que si existe un momento más alto, también existe un momento más bajo

El momento -ésima de una variable aleatoria es finito si $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Estoy tratando de mostrar que para cualquier número entero positivo , entonces el -ésimo momento también es finito. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function

— nona
fuente

¿Es esta tarea? Si es así, ¿qué has probado hasta ahora? Además, he intentado que tu pregunta sea más legible, avísame si he cometido un error.

— Gschneider

Leí el libro de texto de Billingsley y busqué en Internet, pero no existe una prueba exacta. Lo que encontré es solo una pista, tal vez se pueda usar la desigualdad de Jensen.

— nona

Considere reescribircomoy ver si eso te lleva a alguna parte.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

— Gschneider

Hay una diferencia entre un momento existente y ser finito . En particular, puede existir un momento, pero ser infinito. La terminología que te presentan es un poco imprecisa. En cualquier caso, este es un resultado estándar sobre los espacios ; No es cierto que "no exista una prueba exacta". :)

L_{p}

$L_p$

— cardenal

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— StasK
fuente

Multa. También puedes probarlo con la ayuda de la desigualdad de Jensen.

— Stéphane Laurent

(+1) Me gusta porque se basa solo en las propiedades más básicas de la expectativa, a saber, la monotonicidad. En caso de que a uno le preocupe qué hacer con el lado derecho, puede notar que . Si uno prefiere una aplicación de Jensen, puede escribir y observar que .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— cardenal

@cardinal: (+1) Prefiero su desigualdad ya que implica directamente ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— Xi'an