Expectativa condicional de una derivación de RV truncada, distribución de gumbel (diferencia logística)

Tengo dos variables aleatorias que son independientes e idénticamente distribuidas, es decir, : $\epsilon_{1}, \epsilon_{0} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Gumbel}(\mu,\beta)$

F (ϵ) = \exp (- \exp (- \frac{ϵ - μ}{β})),

$F(\epsilon) = \exp(-\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})),$

f (ϵ) = \frac{1}{β} \exp (- (\frac{ϵ - μ}{β} + \exp (- \frac{ϵ - μ}{β}))) .

$f(\epsilon) = \dfrac{1}{\beta}\exp(-\left(\frac{\epsilon-\mu}{\beta}+\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})\right)).$

Estoy tratando de calcular dos cantidades:

$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [c + ϵ_{1} | c + ϵ_{1} > ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[c+\epsilon_{1}|c+\epsilon_{1}>\epsilon_{0}\right]$
$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [ϵ_{0} | c + ϵ_{1} < ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[\epsilon_{0}|c+\epsilon_{1}<\epsilon_{0}\right]$

Llego a un punto en el que necesito hacer integración en algo de la forma: , que parece no tener una integral en forma cerrada. ¿Puede alguien ayudarme con esto? Tal vez he hecho algo mal. $e^{e^{x}}$

Siento que definitivamente debería haber una solución de forma cerrada. (EDITAR: incluso si no es de forma cerrada, pero habría un software para evaluar rápidamente la integral [como Ei (x)], eso estaría bien, supongo).

EDITAR:

Creo que con un cambio de variables, dejemos

y = \exp (- \frac{ϵ_{1} - μ}{β})

$y =\exp(-\frac{\epsilon_{1}-\mu}{\beta})$ y

μ - β \ln y = ϵ_{1}

$\mu-\beta\ln y =\epsilon_{1}$

Esto se asigna a y respectivamente. $[0,\;\infty)$ $\left[0,\;\exp(-\frac{\epsilon_{0}-c-\mu}{\beta})\right]$

$|J|=|\dfrac{d\epsilon}{dy}|=\frac{\beta}{y}$ . Luego, bajo el cambio de variable, he reducido (1) a ...

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 - e^{- x}} (\int_{μ - β \ln x - c}^{\infty} [c + μ - β \ln y] e^{- y} d y) e^{- x} d x

$\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\left(\int_{\mu-\beta\ln x-c}^{\infty}\left[c+\mu-\beta\ln y\right]e^{-y}dy\right)e^{-x}dx$

Puede haber un error de álgebra pero aún no puedo resolver esta integral ...

PREGUNTA RELACIONADA: Expectativa del máximo de variables iid Gumbel

— Wolfsatthedoor
fuente

Definitivamente no hay una solución de forma cerrada. ¿Por qué sentiste que debe haber?

— Gordon Smyth

@GordonSmyth ¿Cómo sabes que no hay una solución de forma cerrada?

— wolfsatthedoor

Dado que los parámetros de la distribución de Gumbel son la ubicación y la escala, respectivamente, el problema se simplifica en computación donde y están asociados con , . El denominador está disponible en forma cerrada. $(\mu,\beta)$

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = \frac{\int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x}{\int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x}

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x}{\int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x}$

f

$f$

F

$F$

μ = 0

$\mu=0$

β = 1

$\beta=1$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- \exp [- x - c]} \exp {- x} \exp {- \exp [- x]} d x \\ \overset{a = e^{c}}{=} \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ = \frac{1}{1 + a} {[\exp {- (1 + a) e^{- x}}]}_{- \infty}^{+ \infty} \\ = \frac{1}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\exp[-x-c]\}\exp\{-x\}\exp\{-\exp[-x]\}\text{d}x\\&\stackrel{a=e^c}{=}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\&=\frac{1}{1+a}\left[ \exp\{-(1+a)e^{-x}\}\right]_{-\infty}^{+\infty}\\ &=\frac{1}{1+a} \end{align*}$ El numerador involucra una integral exponencial ya que (según el integrador WolframAlpha ) = \ frac {\ gamma + \ log (1 + a)} {1 + a} \ end {align *} Por lo tanto

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ \overset{z = e^{- x}}{=} \int_{0}^{+ \infty} \log (z) \exp {- (1 + a) z} d z \\ = \frac{- 1}{1 + a} {[Ei (- (1 + a) z) - \log (z) e^{- (1 + a) z}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{γ + \log (1 + a)}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\ &\stackrel{z=e^{-x}}{=} \int_{0}^{+\infty} \log(z) \exp\{-(1+a)z\}\text{d}z\\ &= \frac{-1}{1+a}\left[\text{Ei}(-(1+a) z) -\log(z) e^{-(1+a) z}\right]_{0}^{\infty}\\ &= \frac{\gamma+\log(1+a)}{1+a} \end{align*}$

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = γ + \log (1 + e^{- c})

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]=\gamma+\log(1+e^{-c})$ Este resultado se puede verificar fácilmente mediante simulación, ya que producir una variante de Gumberl equivale a transformar un Variante uniforme (0,1), , como . Monte Carlo y los medios teóricos sí están de acuerdo:

U

$U$

X = - \log {- \log (U)}

$X=-\log\{-\log(U)\}$

— Xi'an
fuente

¿Te diste cuenta que epsilon0 también es un rv?

— wolfsatthedoor