Genere números aleatorios a partir de "distribución uniforme inclinada" a partir de la teoría matemática

Para algún propósito, necesito generar números aleatorios (datos) de la distribución "uniforme inclinado". La "pendiente" de esta distribución puede variar en un intervalo razonable, y luego mi distribución debería cambiar de uniforme a triangular en función de la pendiente. Aquí está mi derivación:

Hagámoslo simple y generemos datos de a (azul, rojo es distribución uniforme). Para obtener la función de densidad de probabilidad de la línea azul solo necesito la ecuación de esa línea. Así:$0$$B$

$$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$$

y desde (foto):

$$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$$

Tenemos que:

$$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Como es PDF, CDF es igual a:$f(x)$

$$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Ahora hagamos un generador de datos. La idea es que si soluciono , se pueden calcular números aleatorios si obtengo números de de una distribución uniforme como se describe aquí . Por lo tanto, si necesito 100 números aleatorios de mi distribución con fijo , entonces para cualquier de distribución uniforme hay de "distribución inclinada", y puede calcularse como:x ( 0 , 1 ) φ , B t i ( 0 , 1 $\varphi, B$$x$$(0,1)$$\varphi, B$$t_i$$(0,1)$$x_i$$x$

$$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$$

A partir de esta teoría, hice un código en Python que se parece a:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

Pero los números generados rand_numbson muy cercanos a cero o B (que configuré como 25). No hay variación, cuando genero 100 números, todos ellos están cerca de 25 o todos están cerca de cero. En una carrera:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

Entonces debe haber algo muy mal en mi código. ¿Alguien puede ayudarme con mi derivación o código? Estoy loco por esto ahora, no puedo ver ningún error. Supongo que el código R me dará resultados similares.

Tu derivación está bien. Tenga en cuenta que para obtener una densidad positiva en , debe restringir En su código , debe tomar entre , ahí es donde falla su código.$(0,B)$

$$B^2 \tan\phi < 2.$$ $B = 25$$\phi$$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$

Usted puede (y debe) evitar el uso de un programa de solución cuadrática y, a continuación, seleccione las raíces entre 0 y . La ecuación polinómica cuadrática en a resolver es con Por construcción y ; también aumenta en .$B$$x$

$$F(x) = t$$ $$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$$ $F(0) = 0$$F(B) = 1$$F$$(0,B)$

A partir de esto, es fácil ver que si , la porción de parábola en la que estamos interesados ​​es una parte del lado derecho de la parábola, y la raíz a mantener es la más alta de las dos raíces, que es Por el contrario, si , la parábola está al revés y nos interesa su izquierda parte. La raíz a mantener es la más baja. Teniendo en cuenta el signo de , parece que esta es la misma raíz (es decir, la que tiene ) que en el primer caso.$\tan \phi > 0$tanϕ<0tan

$$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$$ $\tan\phi < 0$$\tan\phi$$+\sqrt\Delta$

Aquí hay un código R.

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

Y con :$\phi < 0$

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))