Distancia máxima entre muestras extraídas sin reemplazo de una distribución uniforme discreta

Este problema está relacionado con la investigación de mi laboratorio en cobertura robótica:

Dibuja al azar números del conjunto sin reemplazo, y ordena los números en orden ascendente. .$n$$\{1,2,\ldots,m\}$$1\le n\le m$

De esta lista ordenada de números , genera la diferencia entre números consecutivos y los límites: . Esto da brechas.$\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$$g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$$n+1$

¿Cuál es la distribución de la brecha máxima?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

Esto se puede enmarcar utilizando estadísticas de pedido : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

Vea el enlace para la distribución de brechas , pero esta pregunta hace referencia a la distribución de la brecha máxima .

Estaría satisfecho con el valor promedio, $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$ .

Si $n=m$ todos los espacios son de tamaño 1. Si $n+1 = m$ hay un espacio de tamaño $2$ , $n+1$ posibles ubicaciones. El tamaño máximo de espacio es $m-n+1$ , y este espacio se puede colocar antes o después de cualquiera de los $n$ números, para un total de $n+1$ posibles posiciones. El tamaño de espacio máximo más pequeño es $\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$ . Defina la probabilidad de cualquier combinación dada $T= {m \choose n}^{-1}$ .

He resuelto parcialmente la función de masa de probabilidad como $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

Trabajo actual (1): La ecuación para la primera brecha, es sencilla: El valor esperado tiene un valor simple: . Por simetría, espero que todos los espacios tengan esta distribución. Quizás la solución podría encontrarse extrayendo esta distribución veces.$a_{(1)}$

$$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$$ $\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$$n$$n$

Trabajo actual (2): es fácil ejecutar simulaciones de Monte Carlo.

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

Sea la posibilidad de que el mínimo, , sea igual a ; es decir, la muestra consta de un subconjunto de . Hay tales subconjuntos de los subconjuntos igualmente probables, de donde$f(g;n,m)$$a_{(1)}$$g$$g$$n-1$$\{g+1,g+2,\ldots,m\}$$\binom{m-g}{n-1}$$\binom{m}{n}$

$$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$$

Agregar para todos los valores posibles de mayores que produce la función de supervivencia$f(k;n,m)$$k$$g$

$$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$$

Deje ser la variable aleatoria dada por la brecha más grande:$G_{n,m}$

$$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$$

(Esto responde a la pregunta como enmarcados originalmente, antes de que se modificó para incluir un hueco entre y .)$a_{(n)}$$m$ Vamos a calcular su función de supervivencia de la cual se deriva fácilmente la distribución completa de . El método es un programa dinámico que comienza con , por lo que es obvio que

$$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$$ $G_{n,m}$$n=1$

$$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$$

Para más grande , tenga en cuenta que el evento es la unión disjunta del evento$n\gt 1$$G_{n,m}\gt g$

$$a_{1} \gt g,$$

para el cual la primera brecha excede , y los eventos separados$g$$g$

$$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$$

para el cual la primera brecha es igual a y una brecha mayor que ocurre más tarde en la muestra. La Ley de Probabilidad Total afirma que las probabilidades de estos eventos se suman, de donde$k$$g$

$$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$$

Fijación y se fijan a cabo una matriz de dos vías indexados por y , podemos calcular mediante el uso de para completar su primera fila y para completar cada fila sucesiva utilizando operaciones por fila. En consecuencia, la tabla se puede completar en operaciones y todas las tablas para a se pueden construir en operaciones .$g$$i=1,2,\ldots,n$$j=1,2,\ldots,m$$P(g;n,m)$$(1)$$(2)$$O(gm)$$O(gmn)$$g=1$$g=m-n+1$$O(m^3n)$

Estos gráficos muestran la función de supervivencia para . A medida que aumenta , el gráfico se mueve hacia la izquierda, lo que corresponde a las posibilidades decrecientes de grandes brechas.$g\to P(g;n,64)$$n=1,2,4,8,16,32,64$$n$

Las fórmulas cerradas para se pueden obtener en muchos casos especiales, especialmente para grande , pero no he podido obtener una fórmula cerrada que se aplique a todos los . Se pueden obtener buenas aproximaciones reemplazando este problema con el problema análogo para variables uniformes continuas.$P(g;n,m)$$n$$g,n,m$

Finalmente, la expectativa de se obtiene sumando su función de supervivencia a partir de :$G_{n,m}$$g=0$

$$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$$

Esta gráfica de contorno de la expectativa muestra contornos en , graduándose de oscuro a claro.$2, 4, 6, \ldots, 32$