¿Cuál es la distribución de la suma de las variables aleatorias de chi-cuadrado al cuadrado?

¿Cuál sería la distribución de la siguiente ecuación?

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

donde y son variables aleatorias de chi-cuadrado no centrales independientes con grados de libertad. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS .: Los rv que generan y tienen y , digamos . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf

— Felipe Augusto de Figueiredo
fuente

1. ¿Cómo se y relacionadas? 2. Las variables aleatorias de chi-cuadrado ya tienen media> 0 ¿Por qué necesitaría declararlo explícitamente? (¿O está tratando de referirse a un chi-cuadrado no central?)

a

$a$

d

$d$

— Glen_b -Reinstale a Monica el

Acabo de agregar más información a la pregunta. Son vv de chi-cuadrado no centrales, ya que fueron generados por variables aleatorias gaussianas complejas simétricas circulares no estándar.

— Felipe Augusto de Figueiredo

¿2M son los grados de libertad para cada uno de los dos?

— Alecos Papadopoulos

Felipe, en su pregunta que indique y hacer "tener " pero ahora en su último comentario que indique que no tienen esta propiedad. Cual es ??

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

— whuber

Gracias por intentar explicarlo, pero todavía no puedo entenderlo. Cuando escribes " y son variables aleatorias de chi-cuadrado no centrales independientes", parece que estás sumando cuadrados de variables aleatorias normales que tienen medias distintas de cero, porque así es como generalmente surgen las variables de chi-cuadrado no central. Pero luego escribes "Los rv que generan y tienen ", lo que sugiere que estás trabajando con variables Chi-cuadrado centrales . Sospecho que estas son las inconsistencias que provocaron el comentario inicial de @Glen_b. ¿Podría mostrar explícitamente lo que y

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ ¿son?

— whuber

Respuestas:

Si son independientes, entonces tendrá una . Dado que no es negativo, CDF de se puede encontrar señalandoPor lo tanto, $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Si y se correlacionan entonces las cosas son mucho más complejas. Véase, por ejemplo, la función de distribución acumulativa de NH Gordon y PF Ramig de la suma de variables aleatorias de chi-cuadrado correlacionadas (1983) para una definición de chi-cuadrado multivariante y la distribución de su suma. $a$ $d$

Si entonces está tratando con chi-cuadrado no central, por lo que lo anterior ya no será válido. Esta publicación puede proporcionar alguna información. $\mu\neq 2M$

EDIT: En base a la nueva información parece y se forman mediante la suma de rv normal con no varianza unitaria. Recuerde si entonces . Como ahora ambos tendrán una distribución chi-cuadrado escalada por , es decir, la distribución . En este caso, será distribuido. Como resultado, para tenemos $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

— Francis
fuente

¿Cómo entra mu? ¿Se supone que es la media de una de las variables de chi-cuadrado? Sospecho que no tiene nada que ver con el problema.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick: probablemente significa que puede ser chi-cuadrado no central?

a, d

$a, d$

— Francis

Supongo que puede hacer esa suposición, pero el OP no hace ninguna conexión. Creo que tomaste el enfoque correcto, lo no central no pudo entrar en este problema. X es el cuadrado de un chi-cuadrado aquí. En el caso de independencia que utilizó aquí, ¿cómo se llama esta distribución?

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick No estoy seguro de si hay un nombre especial asociado con la distribución. ¿"Chi-tesseracted" tal vez?

— Francis

a

$a$ y son chi-cuadrado no central.

d

$d$

— Felipe Augusto de Figueiredo

Dado que un chi-cuadrado no central es una suma de rv independientes, entonces la suma de dos chi-cuadrados no centrales independientes también es un chi-cuadrado no central con parámetros la suma de los parámetros correspondientes de los dos componentes, (grados de libertad), (parámetro de no centralidad). $X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

Para obtener la función de distribución de su cuadrado , se puede aplicar el "método CDF" (como en la respuesta @francis), $Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

y donde

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

entonces

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

donde aquí es la función Q de Marcum . $Q$

Lo anterior se aplica a los chi-cuadrados no centrales formados como sumas de normales al cuadrado independientes, cada una con varianza unitaria pero con una media diferente.

Adenda que responde a la edición de la pregunta

Si los rv base son , entonces el cuadrado de cada uno es un ver https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 . $N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

Entonces el rv y también (parametrización de escala de forma, y vea el artículo de Wikipedia para el propiedades aditivas para Gamma). $a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

Entonces uno puede aplicar nuevamente el método CDF para encontrar el CDF del cuadrado $Y = X^2$

— Alecos Papadopoulos
fuente

@FelipeAugustodeFigueiredo Lo siento, no estoy familiarizado con los complejos rv. Mi respuesta tomó como dado el hecho de que comenzamos desde chi-cuadrados no centrales.

— Alecos Papadopoulos

¿Qué sucede si los rv son variables aleatorias gaussianas complejas simétricas circulares con y ?

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

— Felipe Augusto de Figueiredo

Olvidémonos de los complejos rv. ¿Qué sucede si los rv que generan y son rv gaussianos con y ? Todos los vehículos gaussianos tienen la misma varianza, llamémosla .

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

— Felipe Augusto de Figueiredo

¿podría ayudarme con la siguiente pregunta: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Cualquier pista sería muy apreciada. ¡Gracias!

— Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Me temo que no tengo nada que ofrecer para esa pregunta.

— Alecos Papadopoulos