suma de variables aleatorias de Chi-cuadrado no centrales

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Necesito encontrar la distribución de la variable aleatoria donde y todos s son independientes. Sé que es posible encontrar primero el producto de todas las funciones generadoras de momentos para s, y luego transformarlo de nuevo para obtener la distribución deSin embargo, me pregunto si existe una forma general para como el caso gaussiano: sabemos que la suma de gaussianos independientes sigue siendo gaussiana y, por lo tanto, solo necesitamos conocer la media sumada y la varianza sumada.

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

Y

$Y$

Y

$Y$

¿Qué tal todo ? ¿Esta condición hará una solución general? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— trampa
fuente

1

Mirando el primer párrafo debajo de aquí , claramente la condición final produce un chi-cuadrado no central escalado (dividir entre (el factor de escala que saca al frente) y hacer en ). La forma más general con la que comenzó parece una combinación lineal o un promedio ponderado a escala, con coeficientes lugar de una simple suma de cuadrados escalados ... y creo que generalmente no tendrá la distribución requerida.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b -Reinstala a Mónica el

Dependiendo de para qué lo necesite, en casos específicos puede realizar convolución numérica o simulación.

— Glen_b -Reinstate a Monica el

Esto se generaliza por la distribución 'suma ponderada de log chi-cuadrados a potencia'. Mi paquete R sadistsproporciona funciones aproximadas 'dpqr' para ; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

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Como Glen_b señaló en los comentarios, si las variaciones son todas iguales, terminará con un chi-cuadrado no central escalado.

Si no, hay un concepto de una distribución chi-cuadrado generalizada , es decir, para y fijo. En este caso, usted tiene el caso especial de la diagonal ( ), y . $x^T A x$ $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

Se ha trabajado en la informática con esta distribución:

Imhof (1961) y Davies (1980) invierten numéricamente la función característica.
Sheil y O'Muircheartaigh (1977) escriben la distribución como una suma infinita de variables chi-cuadrado centrales.
Kuonen (1999) da una aproximación de punto de silla al pdf / cdf.
Liu, Tang y Zhang (2009) lo aproximan con una distribución chi-cuadrado no central basada en el emparejamiento acumulativo.

También puede escribirlo como una combinación lineal de variables chi-cuadrado no centrales independientes , en ese caso: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez y López-Blázquez (2005) dan una expansión de Laguerre para el pdf / cdf.

Bausch (2013) ofrece un algoritmo computacionalmente más eficiente para la combinación lineal de chi-cuadrados centrales; su trabajo puede ser extensible a chi-cuadrados no centrales, y puede encontrar algunos consejos interesantes en la sección de trabajo relacionado.

— Dougal
fuente

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Una comparación de los métodos de aproximación se encuentra en Duchesne et al. 2010. Estadística computacional y análisis de datos, 54, 858–862. Los autores mantienen el paquete R CompQuadForm con implementaciones.

— caracal

-10

Esto será Chi-cuadrado de n grado de libertad.

— Ahmed
fuente

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Creo que alto que el puede ser distinto de cero. Los comentarios a la pregunta, así como la respuesta existente, son informativos.

μ_{i}

$\mu_i$

— whuber