Contraejemplos donde la mediana está fuera [Modo-Media]

Este artículo está por encima de mi liga, pero habla sobre un tema que me interesa, la relación entre la media, la moda y la mediana. Dice :

Se cree ampliamente que la mediana de una distribución unimodal es "generalmente" entre la media y la moda. Sin embargo, esto no siempre es cierto ...

Mi pregunta : ¿alguien puede proporcionar ejemplos de distribuciones unimodales continuas (idealmente simples) donde la mediana está fuera del intervalo [mode, mean]? Por ejemplo, una distribución como mode < mean < median.

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Ya hay buenas respuestas de Glen_b y Francis, pero me di cuenta de que lo que realmente me interesa es un ejemplo donde mode <mean <mediana o mediana <mean <mode (es decir, la mediana está fuera [mode, mean] AND mediana es "en el mismo lado" como media del modo (es decir, tanto por encima como por debajo del modo)). ¿Puedo aceptar las respuestas aquí están abiertas una nueva pregunta o tal vez alguien puede sugerir una solución aquí directamente?

Claro, no es difícil encontrar ejemplos, incluso los unimodales continuos, donde la mediana no está entre la media y la moda.

1. Considere iid de una distribución triangular de la formaf T ( t ) = 2 ( 1 - t ) 1 0 < t < $T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   Ahora dejemos que sea ​​una mezcla de y .T 1 - 4 T $X$$T_1$$-4T_2$

   La densidad de ve así:$X$

   

   La media está por debajo de 0, el modo está en 0, pero la mediana está por encima de 0. Una modificación menor de esto daría un ejemplo donde incluso la densidad (en lugar de solo el cdf) era continua, pero la relación entre las medidas de ubicación era lo mismo (editar: ver 3. a continuación).

2. Generalizando, pongamos una proporción (con ) de la probabilidad total en el triángulo del lado derecho y una proporción en el triángulo del lado izquierdo (en lugar de 0.6 y 0.4 tuvimos antes). Además, haga el factor de escala en la mitad izquierda lugar de (con ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - β - 4 β > $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   Ahora suponiendo que , la mediana siempre estará en el intervalo cubierto por el triángulo rectángulo, por lo que la mediana excederá el modo (que siempre permanecerá en ). En particular, cuando , la mediana estará en . 0p>$p>\frac12$$0$ 1-1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   La media estará en .$(p - \beta(1-p))/3$

   Si entonces la media estará por debajo del modo, y si la media estará por encima del modo.$\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   Por otro lado, queremos que mantenga la media por debajo de la mediana.$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   Considere ; Esto pone la mediana por encima del modo.$p=0.7$

   Entonces satisfaría por lo que la media está por encima del modo.$\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   La mediana está en realidad en mientras que la media está en . Por lo tanto, para y , tenemos el modo <media <mediana.$1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (Nota: para mantener la coherencia con mi notación, la variable en el eje x para ambas gráficas debería ser lugar de pero no voy a volver y arreglarla).$x$$t$

3. Este es un ejemplo donde la densidad misma es continua. Se basa en el enfoque en 1. y 2. anteriores, pero con el "salto" reemplazado por una pendiente pronunciada (y luego toda la densidad se volcó alrededor de 0 porque quiero un ejemplo que se vea sesgado a la derecha).

   

   [Utilizando el enfoque de "mezcla de densidades triangulares", se puede generar como una mezcla de 3 variantes escaladas independientes de la forma triangular descrita en la sección 1. Ahora tenemos 15% , 60% y 25% .]$T_1$$-3T_2$$5T_3$

   Como vemos en el diagrama anterior, la media está en el medio, según lo solicitado.

4. Tenga en cuenta que m_t_ menciona el Weibull en los comentarios (para los cuales la mediana está fuera del intervalo para un pequeño rango del parámetro de forma ). Esto es potencialmente satisfactorio porque es una distribución unimodal continua (y suave) bien conocida con una forma funcional simple.$[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   En particular, para valores pequeños del parámetro de forma de Weibull, la distribución es sesgada a la derecha, y tenemos la situación habitual de mediana entre el modo y la media, mientras que para valores grandes del parámetro de forma de Weibull, la distribución es a la izquierda , y nuevamente tenemos esa situación de "mediana en el medio" (pero ahora con el modo a la derecha en lugar de la media). Entre esos casos, hay una pequeña región donde la mediana está fuera del intervalo de modo medio, y en el medio de eso, la media y el modo se cruzan:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   Al elegir valores convenientes para el parámetro de forma en los intervalos marcados (1) y (2) anteriores, aquellos en los que los espacios entre las estadísticas de ubicación son casi iguales, obtenemos:

   

   Si bien estos cumplen los requisitos, desafortunadamente los tres parámetros de ubicación están tan juntos que no podemos distinguirlos visualmente (todos caen en el mismo píxel), lo cual es un poco decepcionante: los casos de mis ejemplos anteriores son mucho más apartado. (Sin embargo, sugiere situaciones para examinar con otras distribuciones, algunas de las cuales podrían dar resultados que son visualmente más distintos).

El siguiente ejemplo está tomado de los contraejemplos de probabilidad de Jordan Stoyanov .

Dada la constante positiva y , considere una variable aleatoria con densidad La media , mediana modo de se puede encontrar como Nota es una densidad solo si Entonces, si dejamos entonces . Como resultado, si elegimos un que está cerca de$c$$\lambda$$X$

Tome la distribución exponencial con el parámetro de velocidad a y la densidad a exp (-ax) para 0 <= x <infinito. El modo está en cero. Por supuesto, la media y la mediana son mayores que 0. El cdf es 1-exp (-ax). Entonces, para la mediana, resuelva para exp (-ax) = 0.5 para x. Entonces -ax = ln (0.5) o x = -ln (0.5) / a. Para la media integrar ax exp (-ax) de 0 a infinito. Tome a = 1 y tenemos una mediana = -ln (0.5) = ln (2) y media = 1.

Entonces modo <mediana <media.