Estadística completa para en una

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Me gustaría saber si la estadística está completa para en una configuración .

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}

$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$

σ^{2}

$\sigma^2$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^2)$

¿Depende esto de si se conoce previamente o no? Si está completo para , entonces por Lehmann-Scheffé es UMVUE . Pero si se conociera , podríamos haber considerado cuya varianza es igual a Cramer-Rao enlaza , y es estrictamente menor que , por lo que no puede ser UMVUE. $\mu$ $T$ $\sigma^2$ $\mu$

W (X_{1}, \dots, X_{n}) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - μ)^{2}}{n},

$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$

2 σ^{4} / n

$2\sigma^4/n$

2 σ^{4} / (n - 1) = Var [T]

$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$

T

$T$

— usuario39756
fuente

Tal vez estarías de acuerdo conmigo en que T no es imparcial cuando se conoce mu.

— Michael R. Chernick

1

@MichaelChernick ¿No tienes en general que ?

E [T] = σ^{2}

$E[T]=\sigma^2$

— user39756

Lo siento, tienes razón. T tiene el promedio de muestra utilizado en la fórmula. Estaba pensando en W.

— Michael R. Chernick

1

Sugerencia : ¿Ha verificado si es suficiente en el caso de que se conozca ?

T

$T$

μ

$\mu$

— cardenal

4

Creo que resolví mi propia pregunta. Comentarios sobre esta respuesta y nuevas respuestas son bienvenidas.

Si son observaciones en una población y es desconocido , entonces (esto muestra que la familia normal es una familia exponencial) Como la imagen del mapa contiene un conjunto abierto de , según un teorema (por ejemplo, consulte la página 6 aquí ), la estadística $x_1,\ldots,x_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $\mu$

F (X_{1}, ..., X_{norte} El | μ, σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{norte} {mi}^{- \frac{norte μ^{2}}{2 σ^{2}}} {mi}^{\frac{μ}{σ^{2}} \sum_{yo = 1}^{norte} X_{yo} - \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{yo = 1}^{norte} X_{yo}^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$

(μ, σ^{2}) \in R \times R^{+} \mapsto (\frac{μ}{σ^{2}}, - \frac{1}{2 σ^{2}})

$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

U = (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}, \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2})

$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ es suficiente y completo para . Como es una función de y está centrado para , por Lehmann-Scheffé es UMVUE para .

(μ, σ^{2})

$(\mu,\sigma^2)$

T

$T$

U

$U$

σ^{2}

$\sigma^2$

T

$T$

σ^{2}

$\sigma^2$

Ahora, si se conoce , ya no pertenece al espacio paramétrico, por lo tanto, la función de densidad "nueva" es (tenemos una nueva familia exponencial). Como la imagen del mapa contiene un subconjunto abierto de , nuestra estadística es suficiente y completa para . Como además está centrado, es UMVUE para por Lehmann-Scheffé. $\mu=\mu_0$ $\mu$

F (X_{1}, ..., X_{norte} El | σ^{2}) = {(\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}})}^{norte} {mi}^{- \frac{1}{2 σ^{2}} \sum_{yo = 1}^{norte} (X_{yo} - μ_{0 0})^{2}}

$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$

σ^{2} \in R^{+} \mapsto - \frac{1}{2 σ^{2}}

$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$

R

$\mathbb{R}$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

W

$W$

σ^{2}

$\sigma^2$

— usuario39756
fuente

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En su estadística , se usa como la estimación de . Si conoce el verdadero valor de , entonces es preferible el estimador de la varianza . es imparcial y tiene una varianza menor que . Así, en el entorno en el que es conocido, el uso . $T(X_{1},\ldots,X_{n})$ $\bar{X}$ $\mu$ $\mu$ $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ $W$ $T$ $\mu$ $W$

— Ed P
fuente

Sé que es preferible, pero me gustaría entender por qué no está completo cuando se conoce .

W

$W$

T

$T$

μ

$\mu$

— user39756

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He estado buscando en la red refrescando mi memoria en el Teorema de Lehmann-Scheffe y Rao-Blackwell. Estoy de acuerdo con el OP en que la respuesta podría ser que T no es una estadística completa suficiente cuando se conoce mu. Creo que puede ser que el espacio del parámetro cambie.

— Michael R. Chernick