¿Son dos variables aleatorias normales estándar siempre independientes?

16

Aprendí que la distribución normal estándar es única porque la media y la varianza se fijan en 0 y 1 respectivamente. Por este hecho, me pregunto si dos variables aleatorias estándar deben ser independientes.

normal-distribution independence

— C.Hawk
fuente

12

¿Por qué deberían ser ...? La independencia no tiene nada que ver con la distribución.

— Tim

27

Considere

X

$X$ y

X

$X$ . No son independientes.

— djechlin

Puede encontrar esto útil desde un punto de vista práctico. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettin Comenzó el

Además de los buenos ejemplos dados, considere generalmente una distribución normal bivariada con N (0,!) Distribuciones marginales. Es posible tener cualquier correlación entre -1 y 1. Los ejemplos a continuación son todos casos especiales. Por otro lado, es posible que dos variables normales estándar sean dependientes pero no tengan una distribución bivariada.

— Michael R. Chernick

1

Noté que Batman da un resultado general que puede ser el mismo que estoy sugiriendo. El caso Y = -X tiene correlación -1 y, por lo tanto, es una forma degenerada de una normal bivariada. No he visto un ejemplo aquí (en esta publicación) que ilustre un caso que no sea bivariante normal.

— Michael R. Chernick

42

La respuesta es no. Por ejemplo, si es una variable aleatoria estándar, sigue las mismas estadísticas, pero e son claramente dependientes. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— borrar
fuente

26

No, no hay razón para creer que dos gaussianos estándar sean independientes.

Aquí hay una construcción matemática simple. Suponga que e son dos variables normales estándar independientes. Entonces el par $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

son dos variables normales estándar dependientes . Entonces, siempre que sean dos variables normales independientes , debe haber dos dependientes .

La segunda variable es normal porque cualquier combinación lineal de variables normales independientes es nuevamente normal. El está ahí para hacer que la varianza sea igual a. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

$X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
fuente

7

Here's a fairly wide answer:

Let $X,Y$ be jointly Gaussian random variables (i.e. for any $a,b$ real numbers, $a X + bY$ has a Gaussian distribution). Then, $X$ and $Y$ are independent if and only if $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$ (i.e. they are uncorrelated). See these notes, for example, for details.

How can you generate standard normal random variables which are not independent? Pick your favorite matrix of the form $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ such that $(\lambda-1)^2 - p^2$ has positive roots in $\lambda$ . Then, apply the Cholesky decompositon to $\Sigma= R R^T$ . Then, take two independent standard normal random variables $U,V$ and then the vector $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$ .

— Batman
fuente

5

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
fuente