¿Pueden dos variables aleatorias tener la misma distribución y, sin embargo, ser casi seguramente diferentes?

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¿Es posible que dos variables aleatorias tengan la misma distribución y, sin embargo, casi seguramente sean diferentes?

distributions probability

— AvisponesFan
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Deje que y definir . Es fácil demostrar que . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Pero

PAGS {ω : X (ω) = Y (ω)} = PAGS {ω : X (ω) = 0 0, Y (ω) = 0 0} \leq PAGS {ω : X (ω) = 0 0} = 0 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Por lo tanto, e son diferentes con probabilidad uno. $X$ $Y$

— zen
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Este mismo truco funciona de manera mucho más general e incluso en casos que podrían "parecer" más simples para alguien que se encuentra por primera vez con el tema. Por ejemplo, considere

y

, donde

es una variable aleatoria de Bernoulli con una probabilidad de éxito siendo

.

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

— cardenal

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Cualquier par de variables aleatorias independientes e tengan la misma distribución continua proporciona un contraejemplo. $X$ $Y$

De hecho, dos variables aleatorias que tienen la misma distribución ni siquiera se definen necesariamente en el mismo espacio de probabilidad, por lo tanto, la pregunta no tiene sentido en general.

— Stéphane Laurent
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3

(+1) Su segundo punto, en particular, es importante y, una vez que lo comprende, ayuda a dilucidar las diferencias en los dos conceptos involucrados.

— cardenal

-1

Solo considere e con con la medida de Borel o Lebesgue. Para ambos, la probabilidad acumulada es y la distribución de probabilidad es . Para la suma la distribución es una unidad de masa de Dirac en . $X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

— RRBaldino
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Bienvenido a nuestro sitio. ¿Podría aclarar el sentido en que su publicación responde la pregunta en este hilo y muestra cómo difiere de la respuesta dada por Zen (y el comentario de @Cardinal a esa respuesta )?

— whuber